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donc

${\begin{aligned}\sin(n-1)z=&x\left(\mathrm {A} _{n-1}u^{n-2}+\mathrm {B} _{n-1}u^{n-4}+\mathrm {C} _{n-1}u^{n-6}+\ldots \right),\\\sin(n-2)z=&x\left(\mathrm {A} _{n-2}u^{n-3}+\mathrm {B} _{n-2}u^{n-5}+\mathrm {C} _{n-2}u^{n-7}+\ldots \right).\end{aligned}}$

Si l’on substitue ces valeurs de $\sin(n-1)z$ et $\sin(n-2)z$ dans l’équation

$\sin nz=2u\sin(n-1)z-\sin(n-2)z,$

on aura

$\sin nz=x\left(2\mathrm {A} _{n-1}u^{n-1}+2\mathrm {B} _{n-1}u^{n-3}+2\mathrm {C} _{n-1}u^{n-5}+\ldots \right.$

$\left.-\mathrm {A} _{n-2}u^{n-3}-\mathrm {B} _{n-2}u^{n-5}-\ldots \right),$

et, si l’on compare cette expression avec la précédente, on aura

$(\Lambda )\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} _{n}=&2\mathrm {A} _{n-1},\\\mathrm {B} _{n}=&2\mathrm {B} _{n-1}-\mathrm {A} _{n-2},\\\mathrm {C} _{n}=&2\mathrm {C} _{n-1}-\mathrm {B} _{n-2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

Au moyen de ces équations on déterminera $\mathrm {A} _{n},\mathrm {B} _{n},\mathrm {C} _{n},\ldots ,$ mais on doit faire ici une observation à laquelle il est nécessaire de faire attention dans toutes les recherches qui dépendent du Calcul intégral aux différences finies ; ce qui rend son usage fort délicat. Cette observation consiste en ce que les équations précédentes $(\Lambda )$ ne commencent point à exister toutes à la fois, c’est-à-dire lorsque $n$ a une même valeur dans ces équations. Pour le faire voir, j’observe que l’équation fondamentale

$\sin nz=2u\sin(n-1)z-\sin(n-2)z,$

au moyen de laquelle j’ai conclu $\sin 2z,\sin 3z,\sin 4z,\ldots ,$ suppose connus les deux premiers sinus $\sin 0z$ et $\sin 1z\,;$ elle ne peut donc commencer à avoir lieu que lorsque $n=2\,;$ partant aussi, les équations $(\Lambda )$ ne peuvent commencer à exister que lorsque $n=2.$ La première de ces équations commence à exister lorsque $n=2,$ auquel cas on a $\mathrm {A_{2}=2A_{1}} \,;$ ainsi, le plus petit indice de $\mathrm {A} _{n},$ c’est-à-dire la moindre valeur que puisse avoir $n$ dans cette expression, est l’unité ; la seconde équation ne peut donc commencer à avoir lieu que lorsque $n=3,$ auquel cas on a $\mathrm {B_{3}=2B_{2}-A_{1}} \,;$ partant, le plus petit indice de $\mathrm {B} _{n}$ est $2\,;$ la troisième équation ne peut donc commencer à avoir lieu que lorsque