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Je suppose que l’on ait

${\begin{aligned}y_{1}&=\alpha u+{\text{ϐ}},\\y_{2}&=\delta u^{2}+\gamma u+\Omega ,\\y_{3}&=\varpi u^{3}+\pi u^{2}+\theta u+\sigma ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Voici comment je conclus l’expression générale de $y_{n}.$

Je fais

$y_{n}\ \ =\mathrm {A} _{n}u^{n}\qquad +\mathrm {B} _{n}u^{n-1}\quad +\mathrm {C} _{n}u^{n-2}\ \ +\ldots ,$

partant,

${\begin{aligned}y_{n-1}&=\mathrm {A} _{n-1}u^{n-1}+\mathrm {B} _{n-1}u^{n-2}+\mathrm {C} _{n-1}u^{n-3}+\ldots ,\\y_{n-2}&=\mathrm {A} _{n-2}u^{n-2}+\mathrm {B} _{n-2}u^{n-3}+\mathrm {C} _{n-2}u^{n-4}+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; si l’on substitue ces valeurs de $y_{n-1},y_{n-2},\ldots$ dans l’équation $(\nabla ),$ on aura

${\begin{aligned}y_{n}&=u^{n}\ \ \ \left(\quad a_{n}\mathrm {A} _{n-1}+^{1}\!a_{n}\mathrm {A} _{n-2}+^{2}\!a_{n}\mathrm {A} _{n-3}+\ldots \right)\\&+u^{n-1}\left(\quad a_{n}\mathrm {B} _{n-1}+^{1}\!a_{n}\mathrm {B} _{n-2}+^{2}\!a_{n}\mathrm {B} _{n-3}+\ldots \right.\\&\qquad \qquad \left.+\ b_{n}\mathrm {A} _{n-1}+^{1}\!b_{n}\mathrm {A} _{n-2}+^{2}\!b_{n}\mathrm {A} _{n-3}+\ldots \right)\\&+u^{n-2}\left(\quad \ a_{n}\mathrm {C} _{n-1}+^{1}\!a_{n}\mathrm {C} _{n-2}+^{2}\!a_{n}\mathrm {C} _{n-3}+\ldots \right.\\&\qquad \qquad +b_{n}\mathrm {B} _{n-1}+^{1}\!b_{n}\mathrm {B} _{n-2}+^{2}\!b_{n}\mathrm {B} _{n-3}+\ldots \\&\qquad \qquad \left.\,+^{1}\!c_{n}\mathrm {A} _{n-2}+^{2}\!c_{n}\mathrm {A} _{n-3}+^{3}\!c_{n}\mathrm {A} _{n-4}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

En comparant cette expression de $y_{n}$ avec la précédente, on aura les équations suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{n}&=a_{n}\mathrm {A} _{n-1}+^{1}\!a_{n}\mathrm {A} _{n-2}+^{2}\!a_{n}\mathrm {A} _{n-3}+\ldots ,\\\mathrm {B} _{n}&=a_{n}\mathrm {B} _{n-1}+^{1}\!a_{n}\mathrm {B} _{n-2}+^{2}\!a_{n}\mathrm {B} _{n-3}+\ldots ,\\&+\ b_{n}\mathrm {A} _{n-1}+^{1}\!b_{n}\mathrm {A} _{n-2}+^{2}\!b_{n}\mathrm {A} _{n-3}+\ldots ,\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

au moyen desquelles on déterminera, par les méthodes précédentes, $\mathrm {A} _{n},\mathrm {B} _{n},\ldots ,$ et l’on aura ainsi l’expression générale de $y_{n}.$

Je suppose que l’on veuille avoir l’expression générale de $\sin nz\,;$ il est aisé de voir, par ce qui précède, qu’elle aura cette forme

$\sin nz=x\left(\mathrm {A} _{n}u^{n-1}+\mathrm {B} _{n}u^{n-3}+\mathrm {C} _{n}u^{n-5}+\mathrm {D} _{n}u^{n-7}+\ldots \right)\,;$