et 
étant des constantes arbitraires et finies ; on aura
![{\displaystyle y_{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{x}\left\{p^{x}\left[^{1}\!\mathrm {B} +^{1}\!\mathrm {D} x+^{1}\!\mathrm {E} {\frac {x(x-1)}{1.2}}\right]+^{3}\!\mathrm {A} \,^{3}\!p^{x}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227e2a11e97d983ec3f4398a8b5aed2599c52d8e)
si de plus on avait 
on aurait
![{\displaystyle \times \left\{p^{x}\left[^{2}\!\mathrm {B} +^{2}\!\mathrm {D} x+^{2}\!\mathrm {E} {\frac {x(x-1)}{1.2}}+^{2}\!\mathrm {F} {\frac {x(x-1)(x-2)}{1.2.3}}\right]+^{4}\!\mathrm {A} \,^{4}\!p^{x}+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a331480c234f2b35aaf705238ccc57d2f317ddbf)
et ainsi de suite ; on déterminerait les constantes arbitraires, au moyen de 
valeurs particulières de 
Si l’équation 
a deux racines imaginaires 
et 
on fera
et
Soient
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {A} p^{x}+\mathrm {A} p^{x}\\&=(aa+bb)^{\frac {x}{2}}\left[\mathrm {A} \left(\cos q+{\sqrt {-1}}\sin q\right)^{x}+^{1}\!\mathrm {A} \left(\cos q-{\sqrt {-1}}\sin q\right)^{x}\right]\\&=(aa+bb)^{\frac {x}{2}}\left[\left(\mathrm {A+^{1}\!A} \right)\cos qx+\left(\mathrm {A-^{1}\!A} \right){\sqrt {-1}}\sin qx\right],\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39075f4e48e3889fad95c295f01587f07035d097)
parce que
Soient
et
et 
étant réels ; on aura
on aura donc alors
![{\displaystyle y_{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{x}\left[(aa+bb)^{\frac {x}{2}}\left(\mathrm {B} \cos qx+^{1}\!\mathrm {B} \sin qx\right)+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{x}+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf2bac1e9ecc755e6950e0311dee8512bcc9846)
ce serait le même procédé s’il y avait un plus grand nombre d’imaginaires.
Si l’on suppose, dans les calculs précédents, 
on aura le cas des suites récurrentes. De là résulte ce théorème :
