je la compare avec l’équation 
et j’en conclus
et, par conséquent,
J’ai supposé jusqu’ici que toutes les racines de l’équation 
sont inégales, mais il peut arriver qu’une ou plusieurs de ces racines soient égales entre elles ; voici dans ce cas la méthode qu’il faut suivre.
Je suppose que l’on ait 
on fera 
et l’équation
donnera, en réduisant 
en séries,
![{\displaystyle \times \left\{p^{x}\left[\mathrm {A} +^{1}\!\mathrm {A} \left(1+{\frac {xdp}{p}}+{\frac {x(x-1)}{1.2}}\,{\frac {dp^{2}}{p^{2}}}+\ldots \right)\right]+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{x}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becb8ebdfa9b22e9cfcd28cc8aa7a013ceb97262)
Soient
et
et 
étant des constantes arbitraires et finies ; 
sera donc infiniment grand de l’ordre 
seront infiniment petits. Partant
![{\displaystyle y_{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{x}\left[p^{x}\left(\mathrm {B} +\mathrm {D} x\right)+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{x}+^{3}\!\mathrm {A} \,^{3}\!p^{x}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d000b6729c03237fe19dfc49d0b855dd0ab7c698)
Si, de plus, on a 
on fera 
dans cette expression de 
et l’on aura
![{\displaystyle \times \left\{p^{x}\left[\mathrm {B} +^{2}\!\mathrm {A} +\left(\mathrm {D} +^{2}\!\mathrm {A} {\frac {dp}{p}}\right)x+^{2}\!\mathrm {A} {\frac {dp^{2}}{p^{2}}}\,{\frac {x(x-1)}{1.2}}+\ldots \right]+^{3}\!\mathrm {A} \,^{3}\!p^{x}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9476f8724337efee0c3cdb518a1b17b5bb250a5)
Soient
et
