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on aura

${\begin{aligned}{\frac {^{3}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\varphi _{4}}}&-{\frac {^{2}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}}}\left(^{n-1}\!p+^{n-2}\!p+^{n-3}\!p\right)\\+&{\frac {^{1}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}}}\left[\left(^{n-2}p+^{n-1}p\right)^{n-3}\!p+^{n-1}\!p\,^{n-2}\!p\right]-{\frac {\mathrm {M} }{\varphi _{1}}}\,^{n-1}\!p\,^{n-2}\!p\,^{n-3}\!p\\=&\mathrm {A} p\left(p-^{n-1}\!p\right)\left(p-^{n-2}\!p\right)\left(p-^{n-3}\!p\right)+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

De là il est aisé de conclure que, si l’on nomme :

$f$ la somme des quantités $^{1}\!p,^{2}\!p,^{3}\!p,\ldots ,^{n-1}\!p,$

$h$ la somme de leurs produits deux à deux,

$i$ la somme de leurs produits trois à trois,

$q$ la somme de leurs produits quatre à quatre, etc.,

$^{1}\!f$ la somme des quantités $p,^{2}\!p,^{3}\!p,\ldots ,^{n-1}\!p,$

$^{1}\!h$ la somme de leurs produits deux à deux,

$^{1}\!i$ la somme de leurs produits trois à trois, etc.,

et ainsi de suite, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {^{n-1}\!\mathrm {M} -\varphi _{n}f\,^{n-2}\!\mathrm {M} +\varphi _{n}\varphi _{n-1}h\,^{n-3}\!\mathrm {M} -\varphi _{n}\varphi _{n-1}\varphi _{n-2}i\,^{n-4}\!\mathrm {M} +\ldots }{\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\ldots \varphi _{n}p\left(p-^{1}\!p\right)\left(p-^{2}\!p\right)\left(p-^{3}\!p\right)\ldots }},\\^{1}\!\mathrm {A} =&{\frac {^{n-1}\!\mathrm {M} -\varphi _{n}\,^{1}\!f\,^{n-2}\!\mathrm {M} +\varphi _{n}\varphi _{n-1}\,^{1}\!h\,^{n-3}\!\mathrm {M} -\ldots }{\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\ldots \varphi _{n}\,^{1}\!p\left(^{1}\!p-p\right)\left(^{1}\!p-^{2}\!p\right)\left(^{1}\!p-^{3}\!p\right)\ldots }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

On peut déterminer d’une manière fort simple les quantités $f,h,i,q,$$^{1}\!f,^{1}\!h,^{1}\!i,^{1}\!q,\ldots \,;$ je reprends pour cela l’équation

$(h)\qquad \qquad a^{n}-\mathrm {C} a^{n-1}-^{1}\!\mathrm {C} a^{n-2}-\ldots -^{n-1}\!\mathrm {C} =0\,;$

je la divise par $a-p,$ et l’équation résultante sera

$a^{n-1}-fa^{n-2}+ha^{n-3}-ia^{n-4}+qa^{n-5}+\ldots =0.$

Je multiplie cette résultante par $a-p,$ et j’aurai l’équation suivante

$a^{n}-(p+f)a^{n-1}+(pf+h)a^{n-2}-(ph+i)a^{n-3}+\ldots =0\,;$