L’équation (E) de l’Article IV devient dans ce cas
(E’)
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Or (Art. VI), il suffit pour intégrer l’équation (B’) de connaître un nombre
de valeurs pour
dans l’équation (E’). Soit donc
étant constant, et l’équation (E’) donnera
![{\displaystyle (h)\qquad \qquad a^{n}=\mathrm {C} a^{n-1}+^{1}\!\mathrm {C} a^{n-2}+^{2}\!\mathrm {C} a^{n-3}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343f6ed6f278a29e9aca661c24e202c327f0ed99)
d’où l’on aura un nombre
de valeurs pour
et par conséquent pour
puisque ![{\displaystyle \alpha _{x}=a\varphi _{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b33b81f521f9705ae950fc46f4a720401fd77b)
Soient
les différentes valeurs de
dans l’équation
On aura (Art. IV)
![{\displaystyle \delta _{x}=p\varphi _{x},\quad ^{1}\!\delta _{x}=^{1}\!p\varphi _{x},\quad ^{2}\!\delta _{x}=^{2}\!p\varphi _{x},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a05a3770076ab0e09bc0817cdfa4e6aac9d640b)
Or on a (Art. V)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}=&\nabla \ \delta _{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\ldots \varphi _{x}p^{x},\\^{1}\!u_{x}=&\nabla ^{1}\!\delta _{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\ldots \varphi _{x}\,^{1}\!p^{x},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd630462237ac9211ccab4adae98e14f0442b81)
L’intégrale complète de l’équation (B’) est donc
![{\displaystyle y_{x}=\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}\ldots \varphi _{x}\left(\mathrm {A} p^{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p^{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p^{x}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e329fa743afbd6a84a36c56e7b30034c03482d2)
On déterminera les constantes arbitraires
au moyen de
valeurs de
dans autant de suppositions particulières pour
. Soient
![{\displaystyle y_{1}=\mathrm {M} ,\quad y_{2}=^{1}\!\mathrm {M} ,\quad y_{3}=^{2}\!\mathrm {M} ,\quad \ldots ,\quad y_{n}=^{n-1}\!\mathrm {M} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d4e28bbacf60937bdbb9e61b49bbe5a9ce15fc)
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {M} }{\varphi _{1}}}=&\mathrm {A} p\ \ +^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p\ \ +^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p\ \ +\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p,\\{\frac {^{1}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}}}=&\mathrm {A} p^{2}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p^{2}+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p^{2},\\{\frac {^{2}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{3}}}=&\mathrm {A} p^{3}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p^{3}+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{3}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p^{3},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\{\frac {^{n-1}\!\mathrm {M} }{\varphi _{1}\varphi _{2}\ldots \varphi _{n}}}=&\mathrm {A} p^{n}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!p^{n}+^{2}\!\mathrm {A} \,^{2}\!p^{n}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!p^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7080acd77584a9becc814216af52044faf59c63e)