laquelle on peut mettre aisément sous cette forme
(II)
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d’où l’on tire, pour le coefficient de
l’expression
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} '_{1}}{p}}{\frac {1}{(2p)^{a+b-1}}}\ {\frac {\left({\cfrac {1}{t'}}+{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}-\left({\cfrac {1}{t'}}-{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}}{2{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc055dc41fc8e162d677a8fd9554a5e48560df0)
Mais ce coefficient est la fonction génératrice de
quantité qui est égale à l’unité ; car il est certain que le joueur
a gagné la partie lorsqu’il a gagné tous les jetons de
de plus,
doit être ici zéro ou un nombre pair, puisque le nombre de coups dans lesquels
peut gagner la partie est égal à
plus un nombre pair ; et, en effet, il doit gagner tous les jetons de
et encore regagner chaque jeton qu’il a perdu, ce qui exige deux coups. La série
![{\displaystyle y_{a+b,0}t'^{0}+y_{a+b,2}t'^{2}+y_{a+b,4}t'^{4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a15bc703e82b8300d9687e7170eec90994b6aab)
qui représente le coefficient de
est donc égale à
et l’on en conclut
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} '_{1}}{p}}={\frac {(2p)^{a+b-1}}{1-t'^{2}}}\ {\frac {2{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}{\left({\cfrac {1}{t'}}+{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}-\left({\cfrac {1}{t'}}-{\sqrt {{\cfrac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86ebe42f907fa9ac07abb383d722ec1fa190e54)
Maintenant le coefficient de
tiré du développement de la fonc-