pour atteindre les
coups, on arrive, par les premiers principes des probabilités, à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle y_{x,x'}=py_{x+1,x'-1}+qy_{x-1,x'-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5e8c2935064b808762a3f5b5ae04bfe128aad)
qui donne, pour la fonction génératrice de
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A+A'+B'} t}{qt^{2}t'-t+pt'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6211ad7a548d45541fb09f0c5d78a5123c04a0b)
étant une fonction arbitraire de
et
deux fonctions arbitraires de
Pour les déterminer plus commodément, nous transformerons cette fonction génératrice en celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} _{1}t+\mathrm {A} '_{1}+\mathrm {B} '_{1}tt'}{qt^{2}t'-t+pt'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a707fdc386d5847bb2ea5e3e90db28d790b9f8)
dans laquelle
et
sont, comme plus haut, des fonctions arbitraires de
et de
Or
est le coefficient de
dans le développement de la fonction par rapport aux puissances de
ou la fonction génératrice de
mais, par les conditions du problème,
est nul quel que soit
par conséquent sa fonction génératrice l’est aussi ;
est donc égal à zéro.
Le coefficient de
dans le développement de la fonction génératrice par rapport à
est
ce qui est en même temps la fonction génératrice de
quantité qui est nulle tant que
est moindre que la somme des jetons ou
et qui devient l’unité quand
est donc une fonction de
qui a pour facteur
et dont on peut ne tenir aucun compte dans le numérateur de la fonction génératrice, car elle ne doit donner que des puissances de
supérieures à
et nous n’avons en vue que d’avoir une fonction génératrice composée des puissances inférieures de
puisque
ne peut s’étendre que depuis
jusqu’à
La fonction génératrice de
ainsi limitée entre ces valeurs, se réduit donc à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} '_{1}tt'}{qt^{2}t'-t+pt'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a17ec695cdbe95b08edaf5ad82d5d66be7757f)