et
d’où l’on conclut
La fonction génératrice de 
sera donc
laquelle, développée selon les puissances de 
et de 
donnera, par le coefficient de 
l’expression de qui sera d’une forme semblable à celle de 
quoique un peu plus compliquée.
En ajoutant les deux fonctions génératrices 
et 
leur somme se réduit à celle-ci
dans laquelle le coefficient de 
est l’unité ; ainsi l’on a
et effectivement, la partie doit être nécessairement gagnée par l’un des joueurs, car l’un et l’autre sont certains de pouvoir extraire chacun de leur urne les nombres déterminés de boules blanches.
Maintenant, supposons 
et conséquemment 
on a
et
alors l’expression de 
devient l’unité ; ce qui est évident, puisque le joueur 
n’ayant plus de chances de perte, doit toujours finir par gagner.
Si, au contraire, on suppose 
et 
c’est-à-dire si le premier joueur 
compte un point avant chaque tirage du joueur 
, alors
et
étant plus grand que 
ou égal, l’expression se réduit à zéro ;
