ratrices aux coefficients, on aura
![{\displaystyle \delta y_{x}=A^{(0)}y_{x}+A^{(1)}\triangle y_{x}+A^{(2)}\triangle ^{2}y_{x}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9645227cc7b6c8e53d758d99e1d57a7d24b37941)
On voit ainsi que la même équation, qui a lieu entre
et
a lieu entre leurs caractéristiques
et
pourvu que, dans le développement de cette équation suivant les puissances de
et de
on substitue, au lieu d’une puissance quelconque
au lieu d’une puissance
au lieu d’un produit tel que
et que l’on multiplie par
les termes indépendants de
et
Ainsi, en supposant
égal à
sera la différence finie de
variant de l’unité ;
sera la différence finie de
variant de
on a ensuite
![{\displaystyle \mathrm {Z} =(1+\mathrm {T} )^{i}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8340623d9d369bcc602c38567290ebb28ab8eeb)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {Z} ^{n}=\left[(1+\mathrm {T} )^{i}-1\right]^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809a226fec6e449e87fddad187016095c7d9fc9f)
ce qui donne
![{\displaystyle \triangle ^{n}=\left[(1+\delta )^{i}-1\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f2e4d284b350e16110aaf6eb50e704b47c49b4)
pourvu qu’après le développement on place
après les puissances des caractéristiques. Cette équation aura encore lieu en faisant
négatif, mais alors les différences se changent en intégrales. La considération des fonctions génératrices fait voir ainsi, de la manière la plus naturelle et la plus simple, l’analogie des puissances et des différences. On peut considérer cette théorie comme le calcul des caractéristiques.
Si l’on a
on aura une équation aux différences finies :
devient alors un polynôme qui ne renferme que des puissances de
plus petites que la plus haute de
dans
Désignons par
le polynôme en
le plus général de cette nature ; on aura
![{\displaystyle \mathrm {U={\frac {Q}{T}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc906ccf5388c04de43e0506787c9b5c49c44f9f)
Le coefficient de
dans le développement de
sera l’intégrale
de l’équation
par cette raison, je nomme
fonction génératrice de cette équation.