facteur dont il s’agit devient donc, en négligeant
conformément à l’analyse du numéro cité du Livre II,
![{\displaystyle k-p_{1}\zeta \varphi (0)+k'p_{1}\omega {\sqrt {-1}}-{\frac {k''}{2}}p_{1}^{2}\omega ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282e838d5f4f95beb010bf741d19807ff9320c01)
Son logarithme hyperbolique est
![{\displaystyle -p_{1}\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}}+{\frac {k'}{k}}p_{1}\omega {\sqrt {-1}}-{\frac {k''}{2k}}p_{1}^{2}\omega ^{2}-{\frac {p_{1}^{2}}{2}}\left[\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}}-{\frac {k'}{k}}\omega {\sqrt {-1}}\right]^{2}+\log k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade06bc1a49509b03e5a466780bcf2a1d6e24bf3)
En changeant
successivement en
on aura les logarithmes des facteurs suivants, jusqu’au facteur relatif à ![{\displaystyle p_{r-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355ff647f3d672e13bc589d7d69017f275484417)
Dans le facteur
l’intégrale doit être prise depuis
jusqu’à
alors
devenant
le logarithme de ce facteur est
![{\displaystyle {\begin{aligned}p_{r+1}\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}}&-{\frac {k'}{k}}p_{r+1}\omega {\sqrt {-1}}-{\frac {k''}{2k}}p_{r+1}^{2}\omega ^{2}\\&-{\frac {p_{r+1}^{2}}{2}}\left[\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}}-{\frac {k'}{k}}\omega {\sqrt {-1}}\right]^{2}+\log k.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733eb6338ac0931aa17f639acd5a146ff0909baf)
On aura les logarithmes des facteurs suivants en changeant
successivement en
Le facteur
est égal à
![{\displaystyle \left[\varphi (0)+{\frac {p_{r}^{2}\zeta ^{2}}{2}}\right]\varphi ''(0)c^{p_{r}\zeta \omega {\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a17b97de32db8976d6bd30442be2e63da03fff)
et son logarithme est
![{\displaystyle {\frac {p_{r}^{2}}{2}}\zeta ^{2}{\frac {\varphi ''(0)}{\varphi (0)}}+p_{r}\zeta \omega {\sqrt {-1}}+\log \varphi (0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab7de6047bbe79a3f00d829e33ff09258b518bb0)
Maintenant, si l’on rassemble tous ces logarithmes, si l’on considère ensuite les conditions
auxquelles l’équation
ième est assujettie, enfin si l’on repasse des logarithmes aux nombres, on trouve, en négligeant ce qu’il est permis de négliger, que la probabilité de l’existence simultanée de
et de
est proportionnelle à
![{\displaystyle \int d\varphi c^{-l\omega {\sqrt {-1}}-\left\{\left[\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}}-{\frac {k'}{k}}\omega {\sqrt {-1}}\right]^{2}+{\frac {k''}{k}}\omega ^{2}\right\}{\frac {\mathrm {S} p_{i}^{2}}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b8ab26d058e9ca8eb4eecbd7f2653e14c5b163)