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$k$ devient ${\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {h}}}}$ et $k''$ devient ${\frac {\sqrt {\pi }}{4h{\sqrt {h}}}}\,;$ ce qui donne ${\frac {k}{k''}}=2h.$ La quantité $\left[{\frac {\varphi (0)}{k}}\right]^{2}$ devient ${\frac {4h}{\pi }}\,;$ or on a $2h>{\frac {4h}{\pi }}\,;$ la méthode la plus avantageuse doit donc alors être préférée.

En combinant les résultats de ces deux méthodes, on peut obtenir un résultat dont la loi de probabilité des erreurs soit plus rapidement décroissante. Nommons toujours $\zeta ,$ l’erreur du résultat de la méthode de situation, et désignons par $\zeta ',$ l’erreur du résultat de la méthode la plus avantageuse. Le premier de ces résultats est, comme on l’a vu, ${\frac {a_{r}}{p_{r}}},$ et le second est ${\frac {\mathrm {S} p_{i}a_{i}}{\mathrm {S} p_{i}^{2}}}.$ Si l’on désigne $\mathrm {S} p_{i}x_{i}$ par $l,\ {\frac {l}{\mathrm {S} p_{i}^{2}}}$ sera l’erreur de ce dernier résultat ; ainsi l’on aura $l=\zeta '\mathrm {S} p_{i}^{2}.$ La probabilité de l’existence simultanée de $l$ et de $\zeta$ est, par le n^o 21 du Livre II, proportionnelle à

$\int d\omega c^{-l\omega {\sqrt {-1}}}\varphi \left(p_{r}\zeta \right)c^{p_{r}\zeta \omega {\sqrt {-1}}}\int dx\varphi (x)c^{p_{1}x\omega {\sqrt {-1}}}\int dx\varphi (x)c^{p_{2}x\omega {\sqrt {-1}}}\ldots ,$

l’intégrale relative à $\omega$ étant prise depuis $\omega =-\pi$ jusqu’à $\omega =\pi .$ L’intégrale relative à $x,$ dans le facteur $\int dx\varphi (x)c^{p_{1}x\omega {\sqrt {-1}}}$ doit être prise, par ce qui précède, depuis $x=p_{1}\zeta$ jusqu’à $x=\infty .$ En développant ce facteur suivant les puissances de $x,$ il devient

$\int dx\varphi (x)+p_{1}\omega {\sqrt {-1}}\int xdx\varphi (x)-p_{1}^{2}{\frac {\omega ^{2}}{2}}\int x^{2}dx\varphi (x)+\ldots .$

En prenant l’intégrale dans les limites précédentes, on a, aux quantités près de l’ordre $\zeta ^{3},$

$\int dx\varphi (x)=k-p_{1}\zeta \varphi (0).$

En négligeant pareillement les quantités des ordres $\zeta ^{2}\omega ,\zeta ^{3}\omega ^{2},\ldots ,$ on a

$p_{1}\omega {\sqrt {-1}}\int xdx\varphi (x)=k'p_{1}\omega {\sqrt {-1}},\quad {\frac {-p_{1}^{2}}{2}}\omega ^{2}\int x^{2}dx\varphi (x)=-{\frac {k''}{2}}p_{1}^{2}\omega ^{2},$

$k'$ étant l’intégrale $\int xdx\varphi (x)$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x$ infini. Le