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ment petite $\delta y,$ la somme des écarts positifs $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{r-1}$ diminuera de la quantité

$\delta y\left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{r-1}\right)\,;$

mais la somme des écarts négatifs, pris avec le signe $+,$ augmentera de la quantité

$\delta y\left(p_{r+1}+p_{r+2}+\ldots +p_{n}\right)\,;$

l’écart $x_{r}$ deviendra $p_{r}\delta y.$ La somme des écarts, pris tous positivement, sera donc augmentée de la quantité

$\delta y\left(p_{r}+p_{r+1}+\ldots +p_{n}-p_{1}-p_{2}-\ldots -p_{r-1}\right)\,;$

par les conditions auxquelles le choix de l’équation $r$^ième est assujettie, cette quantité est positive. On verra, de la même manière, que si l’on diminue ${\frac {a_{r}}{p_{r}}}$ de $\delta y,$ la somme des écarts pris positivement sera augmentée de la quantité positive

$\delta y\left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{r}-p_{r+1}-p_{r+2}-\ldots -p_{n}\right).$

Ainsi, dans les deux cas d’un accroissement et d’une diminution de la valeur ${\frac {a_{r}}{p_{r}}}$ de $y,$ la somme des écarts, pris positivement, est augmentée. Cette considération semble donner un grand avantage à la valeur précédente de $y,$ qui, lorsqu’il s’agit de choisir un milieu entre les résultats d’un nombre impair d’observations, devient le résultat équidistant des extrêmes. Mais le Calcul des probabilités peut seul faire apprécier cet avantage ; je vais donc l’appliquer à cette question délicate.

Les seules données dont nous ferons usage sont que l’équation de condition

$0=x_{r}-a_{r}+p_{r}y$

donne, abstraction faite des erreurs, une valeur de $y$ plus petite que les $r-1$ équations antérieures et plus grande que les $n-r$ équations postérieures ; et que l’on a

${\begin{aligned}p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{r-1}<&p_{r}\quad +p_{r+1}+\ldots +p_{n},\\p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{r}\quad >&p_{r+1}+p_{r+2}+\ldots +p_{n}.\end{aligned}}$