la même pour les valeurs
et
il est clair que les éléments de cette intégrale dépendants de
ϐ seront détruits par les éléments négatifs dépendants de
ϐ. Si l’on observe ensuite qu’en désignant
par
on a
![{\displaystyle \iiint \alpha ^{2}d\alpha d{\text{ϐ}}d\mathrm {T} '\varphi (\alpha )\varphi ({\text{ϐ}})\varphi (\mathrm {T} ')=k^{2}k'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00867d9832cefaaab3f0de0eb22372bd730f61c9)
la fonction
deviendra
![{\displaystyle k^{2}k''\left[{\frac {2}{3}}\left(p^{2}-pq+q^{2}\right)+3\left(pi+qi_{1}\right)^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c334ffe338ba7c3e5865c75cf5dfb0fe489dbe8)
le logarithme de
![{\displaystyle \iint d{\underline {\alpha }}d{\underline {\text{ϐ}}}\psi \left({\underline {\alpha }},{\underline {\text{ϐ}}}\right)\cos \left(p{\underline {\alpha }}+q{\underline {\text{ϐ}}}\right)\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c00f5ab31f55d201613fd996423c7f7d2da42af)
devient ainsi
![{\displaystyle \log k^{3}-{\frac {k''}{2k}}\omega ^{2}\left[{\frac {2}{3}}\left(p^{2}-pq+q^{2}\right)+3\left(pi+qi_{1}\right)^{2}\right]-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620d5db1c55885f175a29fb5d32a4fc21df7f098)
En repassant des logarithmes aux nombres et négligeant, conformément à l’analyse du no 20 du Livre II, les puissances de
supérieures au carré, l’intégrale (H) prendra cette forme
![{\displaystyle k^{3n}\int d\omega c^{-s\omega {\sqrt {-1}}-{\frac {k''\omega ^{2}}{2k}}\left[{\frac {2}{3}}\mathrm {S} \left(p^{2}-pq+q^{2}\right)+3\mathrm {S} \left(pi+qi_{1}\right)^{2}\right]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2ba24f638154cf96e6e152691d0e3043fdef15)
représentant la somme des quantités
![{\displaystyle p^{2}-pq+q^{2}+p^{(1)2}-p^{(1)}q^{(1)}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5222a4dd9fb54e607fcf7691dd820de990b6df5)
représentant la somme des quantités
![{\displaystyle \left(pi+qi_{1}\right)^{2}+\left(p^{(1)}i^{(1)}+q^{(1)}i_{1}^{(1)}\right)^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ec012c6cec9a7c8688050bc8dba0b0e8e73036)
et
étant le nombre des triangles. Donnons à l’intégrale précédente cette forme
![{\displaystyle k^{3n}\int d\omega c^{-\mathrm {Q} \left(\omega +{\frac {s{\sqrt {-1}}}{2\mathrm {Q} }}\right)^{2}-{\frac {s^{2}}{4\mathrm {Q} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81936a63c7c72de848edea840e73546ed9626385)
étant égal à
![{\displaystyle {\frac {k''}{2k}}\left[{\frac {2}{3}}\mathrm {S} \left(p^{2}-pq+q^{2}\right)+3\mathrm {S} \left(pi+qi_{1}\right)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b62ceefaa69fb936d8927c8bdba8554e37a9de2)
L’intégrale doit être prise depuis
jusqu’à
et l’on a vu, dans le numéro cité du Livre II, qu’elle peut être étendue depuis