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dépend, par le Chapitre cité de la Mécanique céleste, de l’excentricité des parallèles terrestres, qui introduit dans son expression la quantité

$(u)\qquad \qquad \qquad \qquad -\varphi \left[\left({\frac {du}{d\varphi }}\right)\operatorname {tang} l+\left({\frac {d\,du}{d\varphi dl}}\right)\right]\,;$

la partie de cette expression qui est indépendante de cette excentricité est proportionnelle à $\varphi ^{2}\,;$ ainsi la petite erreur dont $\varphi$ est susceptible n’a point d’influence sensible sur la différence en latitude. En observant donc avec un grand soin cette différence, l’excentricité des parallèles terrestres doit se manifester, pour peu qu’elle soit sensible.

Si la ligne géodésique a été tracée dans le sens du méridien, l’azimut, à l’extrémité de l’arc mesuré, fera connaître l’excentricité des parallèles terrestres, et il est remarquable que cet azimut soit la fonction $(u),$ en y changeant $\varphi$ dans la différence en latitude des points extrêmes de l’arc mesuré et en la multipliant par le sinus de la latitude divisé par le carré du cosinus de la latitude à l’origine de l’arc.

L’arc mesuré dans le sens du méridien fera connaître le rayon osculateur de la Terre dans ce sens, et, par les formules précédentes, on aura la probabilité des erreurs dont sa valeur est susceptible.

On obtiendra plus de précision dans tous les résultats en fixant vers le milieu de l’arc mesuré l’origine des angles ; car alors les puissances supérieures de ces angles, que l’on néglige, deviennent beaucoup plus petites.

3. Supposons que, pour vérifier les opérations, on mesure, vers l’extrémité $\mathrm {A} ^{(n)}$ de l’arc $AA'A''\ldots ,$ une seconde base. L’expression de l’erreur de cette base, conclue de la chaîne des triangles et de la base mesurée au point $\mathrm {A} ,$ sera, par ce qui précède, de la forme

$(p)\qquad \qquad \qquad l\,{\overline {\alpha }}+m{\overline {\text{ϐ}}}+l^{(1)}{\overline {\alpha }}^{(1)}+m^{(1)}{\overline {\text{ϐ}}}^{(1)}+\ldots \,;$

soit $\lambda$ cette erreur qui sera connue par la mesure directe de la seconde base. Si dans la fonction $(p)$ on fait, comme précédemment,

${\text{ϐ}}+{\frac {1}{2}}{\overline {\alpha }}={\frac {1}{2}}{\underline {\alpha }}{\sqrt {3}},$