par le Chapitre cité du Livre III de la Mécanique céleste,
![{\displaystyle \mathrm {R} =1+u-\left({\frac {du}{dt}}\right)\operatorname {tang} l+{\frac {\cfrac {d\,du}{d\varphi ^{2}}}{\cos ^{2}l}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267cea002ee4bfc27b5256b449b4c6112b05724c)
et si l’on nomme
la longueur de l’arc mesuré
on aura, à fort peu près,
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {\varepsilon }{\varphi \cos l}}\left(1-{\frac {1}{3}}\varepsilon ^{2}\operatorname {tang} ^{2}l\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15054e46b323327b6f1b9f18d5095ee041a33c3d)
ce qui donne, à fort peu près,
![{\displaystyle \delta \mathrm {R} ={\frac {\delta \varepsilon }{\varphi \cos l}}-{\frac {\varepsilon \delta \varphi }{\varphi ^{2}\cos l}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6eb86bcbebff78b205c7be34ebbe51135b02f8a)
mais on a, par ce qui précède,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \varepsilon =&p{\overline {\alpha }}+q{\overline {\text{ϐ}}}+\ldots ,\\\delta \varphi ={\frac {\mp \delta \mathrm {A} ^{(n)}}{\sin l}}=&{\frac {\pm \left({\overline {\alpha }}-{\overline {\alpha }}^{(1)}+{\overline {\alpha }}^{(2)}-\ldots \right)}{\sin l}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73961e3ebdcb24739d33b8559a21b89204929558)
le signe inférieur ayant lieu si
est pair, et le signe supérieur si
est impair. En faisant donc
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\overline {p}}=&{\frac {p}{\varphi \cos l}}\mp {\frac {\varepsilon }{\varphi ^{2}\sin l\cos l}},\qquad &{\overline {q}}=&{\frac {q}{\varphi \cos l}},\\{\overline {p}}^{(1)}=&{\frac {p^{(1)}}{\varphi \cos l}}\pm {\frac {\varepsilon }{\varphi ^{2}\sin l\cos l}},&{\overline {q}}^{(1)}=&{\frac {q^{(1)}}{\varphi \cos l}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa29dc42aa291c26db8744a9e2c40ad402dbf980)
la probabilité que l’erreur
sera comprise dans les limites
sera
![{\displaystyle {\frac {2\int dtc^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04275d7275e6b557bb8226b55471807f72b5c02)
l’intégrale étant prise depuis
nul jusqu’à
![{\displaystyle t={\frac {3s}{2\theta }}{\sqrt {\frac {n}{{\overline {p}}^{2}-{\overline {p}}\,{\overline {q}}+{\overline {q}}^{2}+{\overline {p}}^{(1)2}-{\overline {p}}^{(1)}{\overline {q}}^{(1)}+\ldots }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4392f35605a278c6f57acb8787e3af843b7972)
La différence en latitude des points extrêmes de la perpendiculaire