Or on a généralement, en prenant l’intégrale depuis
nul jusqu’à
infini.
![{\displaystyle \int x^{i-\omega }dxc^{-ax}={\frac {(1-\omega )(2-\omega )\ldots (i-\omega )}{a^{i}}}\int {\frac {dxc^{-ax}}{x^{\omega }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc95545977b25f47cf270b4a2abd6904af7a30b)
En faisant ensuite
on a
![{\displaystyle \int {\frac {dxc^{-ax}}{x^{\omega }}}={\frac {1}{a^{1-\omega }}}\int t^{-\omega }dtc^{-t}={\frac {k'}{a^{1-\omega }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78c05fd08eb6932d19d49981d9317e47278f895)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
nul jusqu’à
infini, et
étant supposé exprimer l’intégrale
prise dans ces limites. On aura ainsi
![{\displaystyle \int x^{i-\omega }dxc^{-ax}={\frac {(1-\omega )(2-\omega )\ldots (i-\omega )k'}{a^{i+1-\omega }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55b040ef9ddb3dcea942807385a7472d40cbce5)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \int {\frac {dxc^{-ax}}{x^{\omega }}}(\cos rx-{\sqrt {-1}}\sin rx)={\frac {k'}{a^{1-\omega }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89efa84cfc3e6c1ff604a9a1ca5589670636c840)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}1&-{\frac {(1-\omega )(2-\omega )}{1.2}}{\frac {r^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(1-\omega )(2-\omega )(3-\omega )(4-\omega )}{1.2.3.4}}{\frac {r^{4}}{a^{4}}}-\ldots \\&-{\sqrt {-1}}\left[(1-\omega ){\frac {r}{a}}-{\frac {(1-\omega )(2-\omega )(3-\omega )}{1.2.3}}{\frac {r^{3}}{a^{3}}}-\ldots \right]\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53de9a69bb6dfee2562dbcc75283bca9afad6845)
Si l’on fait
le second membre de cette équation devient
![{\displaystyle {\frac {k'}{a^{1-\omega }\left(1+s{\sqrt {-1}}\right)^{1-\omega }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d083a7421b3c4730ad97e4e96571441ee953bd4e)
Soit
un angle dont
soit la tangente ; on aura
![{\displaystyle \sin \mathrm {A} ={\frac {s}{\sqrt {1+s^{2}}}},\qquad \cos \mathrm {A} ={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abaf1894afedcdc932606c4d3622b4d21a8c349)
ce qui donne
![{\displaystyle \cos \mathrm {A} -{\sqrt {-1}}\sin \mathrm {A} ={\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{1+s{\sqrt {-1}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713567bb7243581ea845a9e764eb9802bc2e092e)
d’où l’on tire, par le théorème connu,
![{\displaystyle \cos(1-\omega )\mathrm {A} -{\sqrt {-1}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} ={\frac {(1+s^{2}){\frac {1-\omega }{2}}}{(1+s{\sqrt {-1}})^{1-\omega }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508800c2c88ba5c5a97f53a56241316831b148d1)