mais ils ont le même signe lorsque
est négatif ; et la puissance précédente doit, par ce qui précède, être changée dans
La somme des termes relatifs à cette puissance est
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{r}{\cfrac {n(n-1)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots r}}(z+2r-n)^{n-1+{\frac {m}{n}}}}{2^{n}\left(n+{\cfrac {m}{n}}-1\right)\ldots {\cfrac {m}{n}}}}k'\sin {\frac {m\pi }{n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a056201aa13cc99967230bc18b930d250284d565)
or ce terme se rencontre dans la série du second membre de l’équation
Cette série contient le terme
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{r'}{\cfrac {n(n-1)\ldots (n-r'+1)}{1.2.3\ldots r'}}(z+2r'-n)^{n-1+{\frac {m}{n}}}}{2^{n}\left(n+{\cfrac {m}{n}}-1\right)\ldots {\cfrac {m}{n}}}}k'\sin {\frac {m\pi }{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5374645c739ba76d85b3f74ec16e5a512e84ec)
étant supposé positif. Si l’on fait
ce qui donne
ce terme devient égal au précédent ; car alors on a
et
![{\displaystyle {\frac {n(n-1)\ldots (n-r'+1)}{1.2.3\ldots r'}}={\frac {n(n-1)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/783c74ac1f973c33533ae782988c6dc880ae546b)
La formule (T) du no 24 du Livre Ier donne
![{\displaystyle {\frac {1}{r-1}}\int t^{r-1}dtc^{-t}\int t^{1-r}dtc^{-t}={\frac {\pi }{\sin(r-1)\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d890dab81d9539d2db67adbc8b82456ed6d9a8)
les intégrales étant prises depuis
nul jusqu’à
infini. Si l’on suppose
on aura
![{\displaystyle \int t^{\frac {m}{n}}dtc^{-t}\int t^{-{\frac {m}{n}}}dtc^{-t}={\frac {{\cfrac {m}{n}}\pi }{\sin {\cfrac {m\pi }{n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e27a0a465c6d7f8bb3f60e847f02112b9a8f23)
Ce que nous avons nommé
dans la formule
du no 42 du Livre Ier est égal à
et il est facile de voir que, les intégrales étant