ADDITIONS.
I.
Nous avons intégré, par une approximation très convergente, dans le no 34 du Livre Ier, l’équation aux différences finies
![{\displaystyle 0=(n'+s+1)y_{s+1}-(n+s)y_{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24be097e37f783b019eb8f102431f775852c1b16)
Il est facile de conclure de notre analyse l’expression du rapport de la circonférence au rayon, en produits infinis, donnée par Wallis. En effet, cette analyse nous a conduit, dans le numéro cité, à l’expression générale
![{\displaystyle (a)\quad {\frac {(n+\mu )(n+\mu +1)\ldots (n+s-1)}{(n'+\mu +1)(n'+\mu +2)\ldots (n'+s)}}={\frac {\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+s-1}}{\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+\mu -1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e830f3b4c9b01e99ec1b21c9a00d29122ff94db2)
les intégrales étant prises depuis
jusqu’à
En faisant d’abord
et observant que
étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, on aura
![{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}={\frac {3.5\ldots (2s-1)}{4.6\ldots 2s\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac80543463c55055299626b34fd27a06fa8ad4b)
En supposant donc généralement
![{\displaystyle {\frac {1}{\int du\left(1-u^{2}\right)^{2}}}=y_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80dd71243d942e59c14038ae2c01d5c13fb06360)
on aura
![{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}={\frac {3.5\ldots (2s-1)}{4.6\ldots 2s}}y_{s-{\frac {1}{2}}}={\frac {3.5\ldots (2s+1)}{4.6\ldots (2s+2)}}y_{s+{\frac {1}{2}}}=\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4814559f8527305c090ad162028dd14150cf69)
ce qui donne
![{\displaystyle y_{s-{\frac {1}{2}}}={\frac {2s+1}{2s+2}}y_{s+{\frac {1}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e917ec4a5ee7658e44eec69f8a82b1f999fe00d)