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fortune physique de $\mathrm {B}$ étant primitivement $107^{\mathrm {fr} }{,}89,$ il ne doit alors risquer prudemment à ce jeu que $7^{\mathrm {fr} }{,}89,$ au lieu de la somme infinie que le résultat du calcul indique, lorsqu’on fait abstraction de toutes considérations morales. Ayant ainsi la valeur de $a$ relative à $a'=100,$ il est facile d’en conclure de la manière suivante sa valeur relative à $a'=200\,;$ en effet on a, dans ce dernier cas,

$a=(200+2)^{\frac {1}{2}}\left(200+2^{2}\right)^{\frac {1}{4}}.\ldots =2(100+1)^{\frac {1}{2}}(100+2)^{\frac {1}{4}}(100+4)^{\frac {1}{8}}\ldots .$

Mais on vient de trouver

$(100+2)^{\frac {1}{4}}(100+4)^{\frac {1}{8}}\ldots =(107{,}89)^{\frac {1}{2}}\,;$

donc

$a=2{\sqrt {101.107{,}89}}=208{,}78.$

Ainsi la fortune physique de $\mathrm {B}$ étant primitivement $208{,}78,$ il ne peut risquer prudemment à ce jeu au delà de $8^{\mathrm {fr} }{,}78.$

43. Nous allons maintenant étendre le principe exposé ci-dessus aux choses dont l’existence est éloignée et incertaine. Pour cela, considérons deux personnes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ qui veulent placer chacune, en viager, un capital $q.$ Elles peuvent le faire séparément ; elles peuvent s’associer et constituer une rente viagère sur leurs têtes, de manière que la rente soit réversible à celle qui survit à l’autre. Examinons quel est le parti le plus avantageux.

Supposons les deux personnes du même âge et ayant la même fortune annuelle que nous représenterons par l’unité, indépendamment du capital qu’elles veulent placer. Soit ϐ la rente viagère que ce capital leur produirait à chacune, si elles plaçaient leurs capitaux séparément, en sorte que leur fortune annuelle devienne $1+$ϐ. Nous exprimerons, conformément au principe dont il s’agit, leur fortune morale annuelle correspondante par $k\log(1+{\text{ϐ}})+\log h.$ Mais cette fortune n’aura lieu que probablement à la $x$^ième année ; ainsi, en désignant par $y_{x}$ la probabilité que $\mathrm {A}$ vivra à la fin de la $x$^ième année, on doit multiplier sa fortune morale annuelle relative à cette année par $y_{x}$ en ajoutant