morale, et repassant des logarithmes aux nombres, on aura,
étant supposé égal à
et faisant
![{\displaystyle (o)\qquad \qquad 1+\alpha x=(1+2\alpha )^{\frac {1}{2}}\left(1+2^{2}\alpha \right)^{\frac {1}{2^{2}}}\ldots \left(1+2^{n}\alpha \right)^{\frac {1}{2^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f09cf6e7eec9b51597f3a42b26c5fd3eee0a4f)
les facteurs
vont en diminuant sans cesse, et leur limite est l’unité ; car on a
![{\displaystyle \left(1+2^{i}\alpha \right)^{\frac {1}{2^{i}}}>\left(1+2^{i+1}\alpha \right)^{\frac {1}{2^{i+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb07a958bff74d11bf6b64f917f80cc05213fba9)
En effet, si l’on élève à la puissance
les deux membres de cette inégalité, elle devient
![{\displaystyle 1+2^{i+1}\alpha +2^{2i}\alpha ^{2}>1+2^{i+1}\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eaacdaf37125ce44ded7a157d3749f63ffa44d5)
et sous cette forme l’inégalité devient évidente. De plus, le logarithme de
est égal à
et il est visible que cette fonction est nulle dans le cas de
infini, ce qui exige que dans ce cas
soit l’unité.
Si l’on suppose
infini dans l’équation
on a le cas où la partie peut se prolonger à l’infini, ce qui est le cas le plus avantageux à
et par conséquent
étant supposés connus, on prendra la somme des logarithmes tabulaires d’un assez grand nombre
des premiers facteurs du second membre, pour que
soit au moins égal à dix. La somme des logarithmes tabulaires des facteurs suivants, jusqu’à l’infini, sera, à très peu près, égale à
![{\displaystyle {\frac {\log \alpha }{2^{i-1}}}+{\frac {(i+1)\log 2}{2^{i-1}}}+{\frac {0{,}4342945}{3\alpha 2^{i-2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093aed8b981b79f8820593d4e09f2a12671d238f)
L’addition de ces deux sommes donnera le logarithme tabulaire de
ou de
Ainsi l’on aura pour une fortune physique
supposée à
avant le jeu, la valeur de
qu’il doit donner à
au commencement du jeu, pour conserver la même fortune morale. En supposant, par exemple,
égal à cent, on trouve
d’où il suit que, la