La quantité que nous avons nommée
dans le numéro cité devient alors
![{\displaystyle v=-{\frac {ydx}{dy}}={\frac {pc^{-{\frac {\varepsilon x}{r}}}+1-p}{p(1+\varepsilon )c^{-{\frac {\varepsilon x}{r}}}+(1-p)\left(1+{\cfrac {\varepsilon }{r}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8191f3a2860cd0870233ae3847c1d171ac4bd9)
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} =&{\frac {1}{1+p\varepsilon +(1-p){\cfrac {\varepsilon }{r}}}},\\{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}=&{\frac {p(1-p)\varepsilon ^{2}\left(1-{\frac {1}{r}}\right)}{r\left[1+p\varepsilon +(1-p){\cfrac {\varepsilon }{r}}\right]^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e13b5f4f929161f68473d44d296b5067901c005)
étant ce que deviennent
lorsque
est nul. Cela posé, la formule (A) citée donnera
![{\displaystyle \int dxc^{-\left(1+{\frac {\varepsilon }{r}}\right)x}\left(pc^{-{\frac {\varepsilon x}{r}}}+1-p\right)^{r-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea190f13fd263a2fe3f7c8c59d72155a73f11074)
![{\displaystyle ={\frac {1}{1+p\varepsilon +(1-p){\cfrac {\varepsilon }{r}}}}\left\{1+{\frac {p(1-p)\varepsilon ^{2}\left(1-{\frac {1}{r}}\right)}{r\left[1+p\varepsilon +(1-p){\cfrac {\varepsilon }{r}}\right]}}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a42598a2594cd664f63f2f69dba345da3ea14)
La formule
devient ainsi, à très peu près, lorsque
est un grand nombre.
![{\displaystyle k\int {\frac {pd\varepsilon }{1+p\varepsilon }}+\log h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e487efcfbb86ea6d71706ff73cc73a1b4ed916a1)
ou
![{\displaystyle k\log(1+p\varepsilon )+\log h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6009290ab3eebb9238fadab8df82a1da5d07ef01)
Maintenant soit
la fortune physique correspondante à cette fortune morale ; on a, par ce qui précède,
![{\displaystyle k\log \mathrm {X} +\log h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9d8f035d58c1f9ed0db18cfbe44ad2bfd09cff)
pour la fortune morale correspondante à
en comparant donc ces deux expressions, on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =1+p\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b0a7ae43adcdeb32d00fbe04a894e1cabf69460)