les valeurs de
correspondantes à
et à
on aura
![{\displaystyle (o)\qquad \sum {\frac {hp^{x}y_{x}}{y_{0}}}=h\left\{{\begin{aligned}&{\frac {p}{1-p}}\left[(u)-p^{n}(u')\right]\\+&{\frac {p^{2}}{(1-p)^{2}}}\left[\left({\frac {du}{dx}}\right)-p^{n}\left({\frac {du'}{dx}}\right)\right]\\+&{\frac {(p+1)p^{2}}{1.2.(1-p)^{3}}}\left[\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)-p^{n}\left({\frac {d^{2}u'}{dx^{2}}}\right)\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38c3b591f77b0114234918d5971865aab939a79)
Si
ou
est constant et égal à l’unité, depuis
jusqu’à
alors la rente viagère doit être payée certainement pendant le nombre
d’années, et elle devient une annuité. Dans ce cas,
est nul, et la formule précédente donne
pour le capital équivalent à l’annuité ![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
Si
alors la probabilité de la vie décroît en progression arithmétique, et la formule précédente donne
![{\displaystyle {\frac {hp}{1-p}}\left[1-{\frac {1-p^{n}}{n(1-p)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d249270ae090c58cbc98a53a2c94fdd6f22f39af)
pour le capital équivalent à la rente viagère
et ainsi de suite.
Supposons maintenant que l’on veuille constituer une rente viagère
sur plusieurs individus des âges
de sorte que la rente reste au survivant. Désignons par
les nombres de la Table de mortalité, correspondants aux âges
la probabilité qu’a le premier individu de vivre à l’âge
étant
la probabilité qu’à cet âge il aura cessé de vivre est
Pareillement, la probabilité qu’a le deuxième individu de vivre à l’âge
ou à la fin de la
ième année de la constitution de la rente étant
la probabilité qu’il aura cessé de vivre alors est
la probabilité que le troisième individu aura cessé de vivre, à la même époque de la constitution de la rente, est