ainsi, quelque petite que soit l’espérance mathématique relative à chaque événement, le bénéfice réel devient à l’infini, certain et infiniment grand, lorsque le nombre des événements passés est supposé infini, comme celui des événements futurs.
40. Nous allons maintenant déterminer les bénéfices des établissements fondés sur les probabilités de la vie humaine. La manière la plus simple de calculer ces bénéfices est de les réduire en capitaux actuels. Prenons pour exemple les rentes viagères. Une personne de l’âge veut constituer sur sa tête une rente viagère on demande le capital qu’elle doit pour cela donner à la caisse de l’établissement qui lui fait cette rente.
Si l’on nomme le nombre des individus de l’âge dans la Table de mortalité dont on fait usage, le nombre des individus de l’âge la probabilité de payer la rente à la fin de l’année sera par conséquent, la valeur du payement sera Mais, si l’on désigne par l’intérêt annuel de l’unité, en sorte que le capital devienne après un an, il deviendra après années ; ainsi, le payement fait à la fin de la ième année, réduit en capital actuel, devient l’unité, ou ce même payement divisé par le payement réduit en capital actuel est donc La somme de tous les payements faits pendant la durée de la vie de la personne qui constitue la rente et multipliés par leur probabilité équivaut donc à un capital actuel représenté par l’intégrale finie
la caractéristique devant embrasser toutes les valeurs de la fonction qu’elle affecte.
On peut déterminer cette intégrale en formant toutes ces valeurs d’après la Table de mortalité, et en les ajoutant ensemble ; on déduira ensuite les capitaux les uns des autres, en observant que, si l’on
