Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/624

cédentes $\nu ^{(i)}$ dans $\nu ^{(i)}+\mu ^{(i)}$ et en retrancher $\mathrm {S} \mu ^{(i)}\,;$ la probabilité que le bénéfice réel de $\mathrm {A}$ sera compris dans les limites

$\mathrm {S} \left[q^{(i)}\nu ^{(i)}-\left(1-q^{(i)}\right)\mu ^{(i)}\right]\pm r{\sqrt {2\mathrm {S} q^{(i)}\left(1-q^{(i)}\right)\left(\nu ^{(i)2}+\mu ^{(i)}\right)^{2}}}$

est donc

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int drc^{-r^{2}}.$

On voit par cette formule que, pour peu que l’espérance mathématique de chaque événement surpasse zéro, en multipliant les événements à l’infini, le premier terme de l’expression des limites étant de l’ordre $s,$ tandis que le second n’est que de l’ordre ${\sqrt {s}},$ le bénéfice réel s’accroît sans cesse et devient à la fois infiniment grand et certain, dans le cas d’un nombre infini d’événements.

39. Considérons maintenant le cas où, à chaque événement, la personne $\mathrm {A}$ a un nombre quelconque de chances à espérer ou à craindre. Supposons, par exemple, qu’une urne renferme des boules de diverses couleurs, que l’on tire une boule de cette urne, en la remettant dans l’urne après le tirage, et que le bénéfice de $\mathrm {A}$ soit $\nu$ si la boule extraite est de la première couleur, qu’il soit $\nu '$ si la boule extraite est de la deuxième couleur, qu’il soit $\nu ''$ si la boule extraite est de la troisième couleur, et ainsi de suite, les bénéfices devenant négatifs lorsque $\mathrm {A}$ est forcé de donner au lieu de recevoir. Nommons $a,a',a'',\ldots$ les probabilités que la boule extraite à chaque tirage sera de la première, ou de la deuxième, ou de la troisième, etc. couleur, et supposons que l’on ait ainsi $s$ tirages ; on aura d’abord

$a+a'+a''+\ldots =1.$

En multipliant ensuite les termes du premier membre de cette équation, respectivement par $c^{\nu \varpi {\sqrt {-1}}},c^{\nu '\varpi {\sqrt {-1}}},c^{\nu ''\varpi {\sqrt {-1}}},\ldots ,$ le terme indépendant des puissances de $c^{\varpi {\sqrt {-1}}},$ dans le développement de la fonction

$c^{-(l+s\mu )\varpi {\sqrt {-1}}}\left(ac^{\nu \varpi {\sqrt {-1}}}+a'c^{\nu '\varpi {\sqrt {-1}}}+a''c^{\nu ''\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots \right)^{s},$