pour la probabilité de
le produit
![{\displaystyle {\frac {d\theta d\theta '}{\pi }}{\sqrt {\frac {(p+q)^{3}(p'+q')^{3}}{4pqp'q'}}}c^{-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}\theta ^{2}-{\frac {(p'+q')^{3}}{2p'q'}}\theta '^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f076ac24d94513b16462eafee0a9e3bcf7ae6494)
de ces deux probabilités sera donc la probabilité de l’existence simultanée de
et de
Faisons
![{\displaystyle {\frac {p'}{p'+q'}}+\theta '={\frac {p}{p+q}}+\theta +t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4c96a93038348aff5a5cdd57cf684457341e7c)
la fonction différentielle précédente devient
![{\displaystyle {\frac {d\theta dt}{\pi }}{\sqrt {\frac {(p+q)^{3}(p'+q')^{3}}{4pqp'q'}}}c^{-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}\theta ^{2}-{\frac {(p'+q')^{3}}{2p'q'}}\left[\theta +t-{\frac {p'q-pq'}{(p+q)(p'+q')}}\right]^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae3789c51b35eb422782ba14d120b4d8d70814b)
En l’intégrant pour toutes les valeurs possibles de
et ensuite pour toutes les valeurs positives de
on aura la probabilité que la possibilité des baptêmes des garçons est plus grande à Londres qu’à Paris. Les valeurs de
peuvent s’étendre depuis
égal à
jusqu’à
égal à
mais, lorsque
et
sont de très grands nombres, le facteur
est si petit à ces deux limites qu’on peut le regarder comme nul ; on peut donc étendre l’intégrale relative à
depuis
jusqu’à
On voit, par la même raison, que l’intégrale relative à
peut être étendue depuis
jusqu’à
En suivant le procédé du no 27 pour ces intégrations multiples, on trouvera facilement que, si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}k^{2}=&{\frac {(p+q)^{3}(p'+q')^{3}}{2p'q'(p+q)^{3}+2pq(p'+q')^{3}}},\\h\ =&{\frac {p'q-pq'}{(p+q)(p'+q')}},\\\theta \ \ +&{\frac {2pqk^{2}}{(p+q)^{3}}}(t-h)=t',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4768cd7d71228d630edbd8a95e2877e0bcf894)
ce qui donne
la différentielle précédente, intégrée d’abord par