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La loi précédente des erreurs donne, pour l’expression générale (1) de $y,$

$y={\sqrt {\frac {sk}{\pi }}}c^{-ksu^{2})},$

en déterminant $\mathrm {H}$ de manière que l’intégrale entière $\int ydx$ soit l’unité, et faisant

$x={\frac {\mathrm {S} q^{(i)}}{s}}+u.$

L’ordonnée qui divise l’aire de la courbe en deux parties égales est celle qui répond à $u=0$ et par conséquent à

$x={\frac {\mathrm {S} q^{(i)}}{s}}\,;$

c’est donc la valeur de $x$ qu’il faut choisir pour résultat moyen des observations ; or cette valeur est celle que donne la règle des milieux arithmétiques ; la loi précédente des erreurs de chaque observation donne donc constamment les mêmes résultats que cette règle, et l’on a vu qu’elle est la seule loi qui jouisse de cette propriété.

En adoptant cette loi, la probabilité de l’erreur $\varepsilon ^{(i)}$ de l’observation $(i+1)$^ième est

${\sqrt {\frac {k}{\pi }}}c^{-k\varepsilon ^{(i)2}}\,;$

or on a vu dans le n^o 20 que, $z$ étant la correction d’un élément, cette observation fournit l’équation de condition

$\varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z-\alpha ^{(i)}.$

La probabilité de la valeur de $p^{(i)}z-\alpha ^{(i)}$ est donc

${\sqrt {\frac {k}{\pi }}}c^{-k(\left(p^{(i)}z-\alpha ^{(i)}\right)^{2}}\,;$

la probabilité de l’existence simultanée des $s$ valeurs $pz-\alpha ,p^{(1)}z-\alpha ^{(1)},$$\ldots ,p^{(s-1)}z-\alpha ^{(s-1)}$ sera donc

$\left({\sqrt {\frac {k}{\pi }}}\right)^{s-1}c^{-k\mathrm {S} (\left(p^{(i)}z-\alpha ^{(i)}\right)^{2}}.$