le signe
embrassant toutes les valeurs de
depuis
nul jusqu’à
On fera disparaître la première puissance de
en faisant
![{\displaystyle \mu '={\frac {k'}{k}}\mathrm {S} q^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391af6d2d5a3df221e1698946e03cc0fde8ca468)
et si l’on ne considère que sa seconde puissance, ce que l’on peut faire par ce qui précède, lorsque
est un très grand nombre, on aura, pour le logarithme de la fonction (2),
![{\displaystyle -{\frac {kk''-k'^{2}}{2k^{2}}}\mathrm {S} q^{(i)2}(n+n')^{2}\varpi ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0384e0bc90586f58da0b99da56b84fec0e9ab2cd)
En repassant des logarithmes aux nombres, la fonction (2) se transforme dans la suivante
![{\displaystyle c^{-{\frac {kk''-k'^{2}}{2k^{2}}}(n+n')^{2}\varpi ^{2}\mathrm {S} q^{(i)2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185c5553e59f32bf1508d7daeebbba0acb1a4301)
l’intégrale (1) devient ainsi
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi c^{-l\varpi {\sqrt {-1}}}c^{-{\frac {kk''-k'^{2}}{2k^{2}}}(n+n')^{2}\varpi ^{2}\mathrm {S} q^{(i)2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59f829bd2a54e2c128f737462f22abdb19615d9)
Supposons
![{\displaystyle {\begin{aligned}l=&(n+n')r{\sqrt {\mathrm {S} q^{(i)2}}},\\t=&{\sqrt {\frac {\left(kk''-k'^{2}\right)\mathrm {S} q^{(i)2}}{2k^{2}}}}(n+n')\varpi -{\frac {r{\sqrt {-1}}}{2}}{\sqrt {\frac {2k^{2}}{kk''-k'^{2}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a54fe6e4d10e710ae19a1f05bf868f25a5f4c5d)
La variation de
étant l’unité, on aura
![{\displaystyle 1=(n+n')dr{\sqrt {\mathrm {S} q^{(i)2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce70341ea8f0c9988138d8a2536d8e593fd4fd4f)
l’intégrale précédente devient ainsi, après l’avoir intégrée depuis
jusqu’à ![{\displaystyle t=\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c50d2cb9de9eef70572af55a89d21906877d8406)
![{\displaystyle {\frac {kdr}{\sqrt {2\left(kk''-k'^{2}\right)\pi }}}c^{-{\frac {k^{2}r^{2}}{2\left(kk''-k'^{2}\right)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a728b56413148237d6ccc2aa70878367d65910d)
Ainsi la probabilité que la fonction
sera comprise dans les limites
![{\displaystyle {\frac {ak'}{k}}\mathrm {S} q^{(i)}\pm ar{\sqrt {\mathrm {S} q^{(i)2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a68f62d018d7af71b859b8657bb786efc8148bc)