En substituant pour
la quantité
à laquelle on peut, par le no 20, le supposer égal,
étant ce qui reste dans les équations de condition après y avoir substitué les corrections données par la méthode des moindres carrés des erreurs, l’erreur moyenne à craindre sur le premier élément est
![{\displaystyle \pm {\frac {{\sqrt {\cfrac {\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}{2s\pi }}}{\sqrt {\mathrm {S} q^{(i)2}}}}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}.\mathrm {S} q^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f220b65e3002ecfc92247dadba8ebdb6ad481c1b)
L’erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur le second élément est
![{\displaystyle \pm {\frac {{\sqrt {\cfrac {\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}{2s\pi }}}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}}}}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}.\mathrm {S} q^{(i)2}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27e1ce4c88501cc8dc900428697774954fbca46)
d’où l’on voit que le premier élément est plus ou moins bien déterminé que le second, suivant que
est plus petit ou plus grand que ![{\displaystyle \mathrm {S} p^{(i)2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5e9a8dbc88805fa2d710f39b5c938f9a71c2e9)
Si les
premières équations de condition ne renferment point
et si les
dernières ne renferment point
alors
et les formules précédentes coïncident avec celle du numéro précédent.
On peut obtenir ainsi l’erreur moyenne à craindre sur chaque élément déterminé par la méthode des moindres carrés des erreurs, quel que soit le nombre des éléments, pourvu que l’on considère un grand nombre d’observations. Soient
les corrections de chaque élément, et représentons généralement les équations de condition par la suivante :
![{\displaystyle \varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z+q^{(i)}z'+r^{(i)}z''+t^{(i)}z'''+\ldots -\alpha ^{(i)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5046725b4faf9b058a422f312c3935152e39752)
Dans le cas d’un seul élément, l’erreur moyenne à craindre est, comme on l’a vu,
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad \qquad \qquad \pm {\sqrt {\frac {\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}}{2s\pi }}}{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7305aacfc46611f99970dbf1c7bf485cf9342018)
Lorsqu’il y à deux éléments, on aura l’erreur moyenne à craindre sur