En prenant les intégrales dans les limites infinies positives et négatives, comme celles relatives à
et
on aura
![{\displaystyle (o)\qquad \qquad {\frac {1}{{\cfrac {4k''\pi }{k}}a^{2}{\sqrt {\mathrm {E} }}}}c^{-{\frac {k}{4k''a^{2}}}{\frac {l^{2}\mathrm {S} n^{(i)2}-2ll'\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}+l'^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}}{\mathrm {E} }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0078920a9b81021b19dbe2344cce83c0a5ce165a)
Il faut maintenant, pour avoir la probabilité que les valeurs de
et de
seront comprises dans des limites données, multiplier cette quantité par
et l’intégrer ensuite dans ces limites. En nommant
cette quantité, la probabilité dont il s’agit sera donc
Mais, pour avoir la probabilité que les erreurs
et
des corrections des éléments seront comprises dans des limites données, il faut substituer dans cette intégrale, au lieu de
et de
leurs valeurs en
et
Or, si l’on différentier les expressions de
et de
en supposant
constant, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}dl=&du\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}+du'\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)},\\0=&du\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}+du'\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9022e4500380a9f38cf6f49fec814bd418c9f278)
ce qui donne
![{\displaystyle dl={\frac {du\left(\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}.\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}-\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}.\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}\right)}{\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20cfd0dc100cce004959a62e8c98fb7701359c66)
Si l’on différentie ensuite l’expression de
en supposant
constant, on a
![{\displaystyle dl'=du'\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eeb834bc0b424261a170085aab5579b11b421b6)
on aura donc
![{\displaystyle dldl'=\left(\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}.\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}-\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}.\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}\right)dudu'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904697da10026fddaf4ebfff2a4bc884f8147907)
En faisant ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} =&\mathrm {S} n^{(i)2}\left(\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}\right)^{2}-2\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}.\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}.\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\mathrm {S} m^{(i)2}.\left(\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}\right)^{2},\\\mathrm {G} =&\mathrm {S} n^{(i)2}.\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}.\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}+\mathrm {S} m^{(i)2}.\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}.\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}\\&-\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}.\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}.\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}+\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}.\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)},\\\mathrm {H} =&\mathrm {S} n^{(i)2}.\left(\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}\right)^{2}-2\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}.\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)}.\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\mathrm {S} m^{(i)2}.\left(\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}\right)^{2},\\\mathrm {I} =&\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}.\mathrm {S} n^{(i)}q^{(i)}-\mathrm {S} n^{(i)}p^{(i)}.\mathrm {S} m^{(i)}q^{(i)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6258a9d30d7a656b89c46e74eac2eaefdb289b)