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aura

$m=\mu p,\quad m^{(1)}=\mu p^{(1)},\quad \ldots ,\quad m^{(s-1)}=\mu p^{(s-1)},$

et l’on peut, quels que soient $p,p^{(1)},\ldots ,$ prendre $\mu$ tel que les nombres $m,m^{(1)},\ldots$ soient des nombres entiers, comme l’analyse précédente le suppose. Alors on a

$z={\frac {\mathrm {S} p^{(i)}\alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)2}}},$

et l’erreur moyenne à craindre devient

$\pm {\frac {a{\sqrt {\frac {k''}{k\pi }}}}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}}}}.$

C’est, dans toutes les hypothèses que l’on peut faire sur les facteurs $m,m^{(1)},\ldots ,$ la plus petite erreur moyenne possible.

Si l’on fait les valeurs de $m,m^{(1)},\ldots$ égales à $\pm 1,$ l’erreur moyenne à craindre sera plus petite lorsque le signe $\pm$ sera déterminé, de manière que $m^{(i)}p^{(i)}$ soit positif, ce qui revient à supposer $1=m=m^{(1)}=\ldots ,$ et à préparer les équations de condition, de sorte que le coefficient de $z$ dans chacune d’elles soit positif ; c’est ce que l’on fait dans la méthode ordinaire. Alors le résultat moyen des observations est

$z={\frac {\mathrm {S} \alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)}}},$

et l’erreur moyenne à craindre en plus ou en moins est

$\pm {\frac {a{\sqrt {\frac {k''s}{k\pi }}}}{\mathrm {S} p^{(i)}}}\,;$

mais cette erreur surpasse la précédente, qui, comme on l’a vu, est la plus petite possible. On peut s’en convaincre d’ailleurs de cette manière. Il suffit de faire voir que l’on a l’inégalité

${\frac {\sqrt {s}}{\mathrm {S} p^{(i)}}}>{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {S} p^{(i)2}}}}$