croix ou pile, et mettant dans l’urne
une boule blanche chaque fois que croix arriverait, et une boule noire chaque fois que pile arriverait, et faisant l’inverse pour l’urne
Car il est visible que la probabilité de tirer une boule blanche de l’urne
est alors
comme celle d’amener croix ou pile.
En prenant l’intégrale
ou
depuis
jusqu’à
on aura la probabilité que le nombre des boules blanches de l’urne
sera compris dans les limites
On peut généraliser le résultat précédent, en supposant l’urne
remplie, comme au commencement de ce numéro, par la projection d’un prisme de
faces latérales, dont
sont blanches et
sont noires. On a vu qu’alors, si l’on fait
![{\displaystyle i^{2}={\frac {(p+q)^{2}}{2pq}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c00b4e46e1f02b682c625827b1befd6a68b9f3)
on a, à l’origine ou lorsque
est nul,
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {i}{\sqrt {n\pi }}}c^{-{\frac {i^{2}}{n}}\left(x-{\frac {np}{p+q}}\right)^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47aa325d758a7b64a9cb9507c288c2c75a918134)
Supposons
et
très peu différents, en sorte que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&{\frac {p+q}{2}}\left(1+{\frac {a}{\sqrt {n}}}\right),\\q=&{\frac {p+q}{2}}\left(1-{\frac {a}{\sqrt {n}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ed0f9a134e5f4841f96b1c7ef0f77bdc18ceee)
on aura
![{\displaystyle i^{2}={\frac {2}{1-{\cfrac {a^{2}}{n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7858a39bbf810e4d20a4bca3f9697a0ba3ccaba9)
ou, à très peu près,
donc
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {2n\pi }}}c^{-{\frac {2}{n}}\left(x-{\frac {n}{2}}-{\frac {a{\sqrt {n}}}{2}}\right)^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb638b95f1dca0ac5d1545015325100a480141e)
En faisant donc
![{\displaystyle x={\frac {n+\mu {\sqrt {n}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ebc3b00d98241062351a44f5f7d8752869fded)