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Supposons que $\mathrm {U}$ devienne $\mathrm {X}$ lorsque $r$ est nul, $\mathrm {X}$ étant une fonction donnée de $\mu .$ On a généralement ces deux théorèmes,

${\begin{aligned}0=&\mathrm {Q} ^{(i)}\int \mu ^{2q}d\mu \mathrm {U} _{i}c^{-\mu ^{2}},\\0=&\mathrm {L} ^{(i)}\int \mu ^{2q+1}d\mu \mathrm {U} '_{i}c^{-\mu ^{2}},\end{aligned}}$

lorsque $q$ est moindre que $i\,;\ \mathrm {U} _{i}$ et $\mathrm {U} '_{i}$ étant des fonctions de $\mu ,$ par lesquelles ${\frac {2\mathrm {Q} ^{(i)}c^{-\mu ^{2}}}{{\sqrt {n\pi }}c^{4ir'}}}$ et ${\frac {2\mathrm {L} ^{(i)}c^{-\mu ^{2}}}{{\sqrt {n\pi }}c^{(4i+2)r'}}}$ sont multipliés dans l’expression de $\mathrm {U} .$ Pour démontrer ces théorèmes, nous observerons que, par ce qui précède, ${\frac {2\mathrm {Q} ^{(i)}c^{-\mu ^{2}}\mathrm {U} _{i}}{\sqrt {n\pi }}}$ est égal à

$\left({\sqrt {-1}}\right)^{2i}\mathrm {H} ^{(i)}c^{-\mu ^{2}}\int dsc^{-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\,;$

il faut donc faire voir que l’on a

$0=\iint \mu ^{2q}dsd\mu c^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i},$

les intégrales étant prises depuis $\mu$ et $s$ égaux à $-\infty$ jusqu’à $\mu$ et $s$ égaux à $+\infty .$ En intégrant d’abord par rapport à $\mu ,$ ce terme devient

${\begin{aligned}{\frac {2q-1}{2}}&\iint \mu ^{2q-2}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i}\\+i&\iint \mu ^{2q-1}d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2i-1}.\end{aligned}}$

En continuant d’intégrer ainsi par parties relativement à $\mu ,$ on parvient enfin à des termes de la forme

$k\iint d\mu dsc^{-\mu ^{2}-s^{2}}\left(\mu +s{\sqrt {-1}}\right)^{2e},$

$e$ n’étant pas zéro, et, par ce qui précède, ces termes sont nuls.

On prouvera de la même manière que l’on a

$0=\mathrm {L} ^{(i)}\int \mu ^{2q+1}d\mu \mathrm {U} '_{i}c^{-\mu ^{2}}.$

De là il suit que l’on a généralement

$0=\int \mathrm {U} _{i}\mathrm {U} _{i'}d\mu c^{-\mu ^{2}},\qquad 0=\int \mathrm {U} '_{i}\mathrm {U} '_{i'}d\mu c^{-\mu ^{2}},$

$i$ et $i'$ étant des nombres différents. Car si, par exemple, $i'$ est plus grand