différence est insensible lorsque
est un grand nombre. Cela posé, considérons dans l’intégrale
le terme
![{\displaystyle {\frac {1.3.5\ldots (2i-1){\frac {1}{2}}\mathrm {H} ^{(i)}{\sqrt {n\pi }}}{2^{i}c^{4ir'}}}\int d\mu c^{-\mu ^{2}}\left[1-{\frac {i(2\mu )^{2}}{1.2}}+{\frac {i(i-1)(2\mu )^{4}}{1.2.3.4}}-\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102b4811c6362ba548262f15e9a467dfa75bf31b)
En étendant l’intégrale depuis
jusqu’à
ce terme devient
![{\displaystyle {\frac {1.3.5\ldots (2i-1){\frac {1}{2}}\mathrm {H} ^{(i)}\pi {\sqrt {n}}}{2^{i}c^{4ir'}}}\left[1-i+{\frac {i(i-1)}{1.2}}-{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3}}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a8f6b9d4f370f9e4da4da09e63e79fb57c0cdc)
Le facteur
est égal à
il est donc nul, excepté dans le cas de
où il se réduit à l’unité. Il est visible que les termes de l’expression de
qui renferment des puissances impaires de
donnent un résultat nul dans l’intégrale
étendue depuis
jusqu’à
car ces termes ont pour facteur
et l’on a généralement dans ces limites
![{\displaystyle \int \mu ^{2i+1}d\mu c^{-\mu ^{2}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b36d7834ec7109a078a258c215147ee53f6a7a)
Il n’y a donc que le premier terme de l’expression de
terme que nous représenterons par
qui puisse donner un résultat dans l’intégrale
et ce résultat est
on a donc
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {H} {\sqrt {n\mu }}=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766bba6c649e7e377ea0d8f9122b054472c2bf93)
par conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {H} ={\frac {2}{\sqrt {n\mu }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c149034bbc297d3a42e1a592f39d7b38dea1873)
L’expression générale de
a ainsi la forme suivante
![{\displaystyle (k)\quad \mathrm {U} ={\frac {2c^{-\mu ^{2}}}{\sqrt {n\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee52b78e1b3f9751f36f209f93d61d10bd5528e)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}&1+{\frac {\mathrm {Q} ^{(1)}\left(1-2\mu ^{2}\right)}{c^{4r'}}}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(2)}\left(1-4\mu ^{2}+{\frac {4}{3}}\mu ^{4}\right)}{c^{8r'}}}+\ldots \\&+{\frac {\mathrm {L} ^{(0)}\mu }{c^{2r'}}}+{\frac {\mathrm {L} ^{(1)}\mu \left(1-{\frac {2}{3}}\mu ^{2}\right)}{c^{6r'}}}+{\frac {\mathrm {L} ^{(2)}\mu \left(1-{\frac {4}{3}}\mu ^{2}+{\frac {4}{15}}\mu ^{4}\right)}{c^{10r'}}}+\ldots \end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9e0e3b778406d0f2f62ba0c3d79ebf5521647c)
étant des constantes indéterminées, qui dépendent de la valeur initiale de ![{\displaystyle \mathrm {U} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009d740d6721bd1a18d18d1eb88d1545e8a53c0c)