En égalant entre eux les termes affectés du signe
on aura l’équation aux différentielles partielles
![{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial r'}}=t^{2}\varphi -2t{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0ca61cb6b708442f7e94f9ab5cc4235c4538b2)
Le terme hors du signe
égalé à zéro, donnera, pour l’équation aux limites de l’intégrale.
![{\displaystyle 0=t\varphi c^{-\mu t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7007efeaac41724ba874002f76ede039c3cbbe)
L’intégrale de l’équation précédente aux différentielles partielles de
est
![{\displaystyle \varphi =c^{{\frac {1}{4}}t^{2}}\psi \left({\frac {t}{c^{2r'}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3999d3e437e03861db8666bf9ae4113a2763497)
étant une fonction arbitraire de
on a donc
![{\displaystyle \mathrm {U} =\int dtc^{-\mu t+{\frac {1}{4}}t^{2}}\psi \left({\frac {t}{c^{2r'}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b310ef74f0da854ff357a1190946a932f6ed874)
Soit
![{\displaystyle t=2\mu +2s{\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe92ef9a3b4dba66d29c1c29b9efbe1017ee2d7)
l’expression de
prendra cette forme
(A)
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Il est facile de voir que l’équation précédente, aux limites de l’intégrale, exige que les limites de l’intégrale relative à
soient prises depuis
jusqu’à
En prenant le radical
avec le signe
on aurait pour
une expression de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {U} =c^{-\mu ^{2}}\int dsc^{-s^{2}}\Pi \left({\frac {s+\mu {\sqrt {-1}}}{c^{2r'}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa9066c97b7124963adf8eda8f8db37b6516aa9)
la fonction arbitraire
pouvant être différente de
La somme de ces deux expressions de
sera sa valeur complète. Mais il est facile de s’assurer que, les intégrales étant prises depuis
jusqu’à
l’addition de cette nouvelle expression de
n’ajoute rien à la généralité de la première, dans laquelle elle est comprise.