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ainsi la formule $(o')$ donnera la probabilité que $p$ sera compris dans les limites

$p'\mp {\frac {\mathrm {T} {\sqrt {2i(n-i)}}}{6p'(1-p')n{\sqrt {n}}}}.$

Le nombre $n$ des parties ne détermine pas le nombre des coups, puisqu’il peut y avoir des parties de deux coups, et d’autres de trois coups. On aura la probabilité que le nombre des parties de deux coups sera compris dans des limites données, en observant que la probabilité d’une partie à deux coups est $p^{2}+(1-p)^{2}\,;$ désignons cette fonction par $\mathrm {P} '.$ En élevant le binôme $\mathrm {P'+(1-P')}$ à la puissance $n,$ la formule $(o)$ donnera la probabilité que le nombre des parties de deux coups sera compris dans les limites $n\mathrm {P} '\pm l\,;$ or le nombre des parties de deux coups étant $n\mathrm {P} '\pm l,$ le nombre des parties à trois coups sera $n(1-\mathrm {P} ')\mp l\,;$ le nombre total des coups sera donc $3n-n\mathrm {P} '\mp l\,;$ la formule $(o)$ donnera donc la probabilité que le nombre des coups sera compris dans les limites

$2n(1+p-p^{2})\mp \mathrm {T} {\sqrt {2n\mathrm {P'(1-P')} }}.$

17. Considérons une urne $\mathrm {A}$ renfermant un très grand nombre $n$ de boules blanches et noires, et supposons qu’à chaque tirage on tire une boule de l’urne, et qu’on la remplace par une boule noire. On demande la probabilité qu’après $r$ tirages le nombre des boules blanches sera $x.$

Nommons $y_{x,r}$ cette probabilité. Après un nouveau tirage, elle devient $y_{x,r+1}.$ Mais, pour qu’il y ait $x$ boules blanches après $r+1$ tirages, il faut qu’il y ait ou $x+1$ boules blanches après le tirage $r$ et que le tirage suivant fasse sortir une boule blanche, ou $x$ boules blanches après le tirage $r$ et que le tirage suivant fasse sortir une boule noire. La probabilité qu’il y aura $x+1$ boules blanches après $r$ tirages est $y_{x+1,r},$ et la probabilité qu’alors le tirage suivant fera sortir une boule blanche est ${\frac {x+1}{n}}\,;$ la probabilité de l’événement composé est donc ${\frac {x+1}{n}}y_{x+1,r}\,;$ c’est la première partie de $y_{x,r+1}.$ La probabilité qu’il y