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ce qui donne

${\begin{aligned}{\frac {1}{1.2.3\ldots (x-l)}}=&(x-l)^{l-x-{\frac {1}{2}}}{\frac {c^{x-l}}{\sqrt {2\pi }}}\left[1-{\frac {1}{12(x-l)}}-\ldots \right],\\{\frac {1}{1.2.3\ldots (x'+l)}}=&(x'+l)^{-x'-l-{\frac {1}{2}}}{\frac {c^{x'+l}}{\sqrt {2\pi }}}\left[1-{\frac {1}{12(x'+l)}}-\ldots \right].\end{aligned}}$

Développons le terme $(x-l)^{l-x-{\frac {1}{2}}}.$ Son logarithme hyperbolique est

$\left(l-x-{\frac {1}{2}}\right)\left[\log x+\log \left(1-{\frac {l}{x}}\right)\right]\,;$

or on a

$\log \left(1-{\frac {l}{x}}\right)=-{\frac {l}{x}}-{\frac {l^{2}}{2x^{2}}}-{\frac {l^{3}}{3x^{3}}}-{\frac {l^{4}}{4x^{4}}}-\ldots \,;$

nous négligerons les quantités de l’ordre ${\frac {1}{n}},$ et nous supposerons que $l^{2}$ ne surpasse point l’ordre $n\,;$ alors on pourra négliger les termes de l’ordre ${\frac {l^{4}}{x^{3}}},$ parce que $x$ et $x'$ sont de l’ordre $n.$ On aura ainsi

${\begin{aligned}\left(l-x-{\frac {1}{2}}\right)&\left[\log x+\log \left(1-{\frac {l}{x}}\right)\right]\\=&\left(l-x-{\frac {1}{2}}\right)\log x+l+{\frac {l}{2x}}-{\frac {l^{2}}{2x}}-{\frac {l^{3}}{6x^{2}}},\end{aligned}}$

ce qui donne, en repassant des logarithmes aux nombres,

$(x-l)^{l-x-{\frac {1}{2}}}=c^{l-{\frac {l^{2}}{2x}}}x^{l-x-{\frac {1}{2}}}\left(1+{\frac {l}{2x}}-{\frac {l^{3}}{6x^{2}}}\right)\,;$

on aura pareillement

$(x'+l)^{-l-x'-{\frac {1}{2}}}=c^{-l-{\frac {l^{2}}{2x'}}}x'^{-l-x'-{\frac {1}{2}}}\left(1-{\frac {l}{2x'}}+{\frac {l^{3}}{6x'^{2}}}\right).$

On a ensuite, par ce qui précède, $p={\frac {x+s}{n+1}},\ s$ étant moindre que l’unité ; en faisant donc $p={\frac {x-z}{n}},\ z$ sera compris dans les limites ${\frac {x}{n+1}}$ et $-{\frac {n-x}{n+1}},$ et par conséquent il sera, abstraction faite du signe,