on aura
![{\displaystyle \varphi (t)={\frac {{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}(2-t)(1-t\mathrm {T} )}{\mathrm {T} \left(2-t\mathrm {T} -t^{n}\mathrm {T} ^{n}\right)\left(1-t+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f85e134f7de3110168f222d4821bfc25713705)
Ainsi la fonction génératrice de l’équation (1) aux différences partielles est
![{\displaystyle {\frac {{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}(2-t)(1-t\mathrm {T} )}{\mathrm {T} \left(2-t\mathrm {T} -t^{n}\mathrm {T} ^{n}\right)\left(1-t+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}\right)\left(1-tt'+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f7155f9d2f6142442f0cff96f3c87dc922e1aaa)
la fonction génératrice de
est donc
![{\displaystyle {\frac {{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n+r}(2-t)(1-t\mathrm {T} )\mathrm {T} ^{r}}{\left(2-t\mathrm {T} -t^{n}\mathrm {T} ^{n}\right)\left(1-t+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499646d560424395e3f3643d973738e1e80d7e4b)
Le coefficient de
dans le développement de cette fonction est la probabilité du joueur
de gagner la partie au coup
On pourra ainsi déterminer cette probabilité par ce développement. La somme de tous ces coefficients jusqu’à
infini est la probabilité du joueur
de gagner la partie ; or on a cette somme en faisant
dans la fonction précédente, ce qui donne
nommons
cette dernière quantité, et désignons par
la probabilité de
de gagner la partie ; on aura
![{\displaystyle y_{r}={\frac {(1-p)p^{r}}{2-p-p^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eabe8f47734f667cf5f564c1a4b57626a0204212)
Cette expression s’étend depuis
jusqu’à
pourvu qu’on y change
dans
exprimant la probabilité de gagner la partie des deux premiers joueurs au moment où ils entrent au jeu.
Maintenant, chaque joueur perdant déposant un franc au jeu, déterminons l’avantage des différents joueurs. Il est clair qu’après de
coups, il y avait
jetons au jeu ; l’avantage du joueur
relatif à ces
jetons est le produit de ces jetons par la probabilité
de gagner la partie au coup
cet avantage est donc
La valeur de
est le coeffi-