différences partielles,
(1)
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cette équation s’étend depuis
jusqu’à ![{\displaystyle r=n-2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c169b1605fd2b0339ba84dfb9bfd3f470dcf5887)
On a, par le raisonnement précédent, l’équation suivante :
![{\displaystyle y_{n-1,x}={\frac {1}{2}}y_{n-2,x-1}+{\frac {1}{2^{2}}}y_{n-3,x-2}+{\frac {1}{2^{n-1}}}y_{0,x-n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49851ae8614c76ca8d9905fc6e7e0732e3181229)
Mais l’expression précédente de
donne
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}y_{n-2,x-1}={\frac {1}{2^{2}}}y_{n-3,x-2}+\ldots +{\frac {1}{2^{n-1}}}y_{0,x-n+1}+{\frac {1}{2^{n}}}y_{n-1,x-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d940ac0323609f3a6ab2483681d511a7ec93887)
En retranchant cette équation de la précédente, on aura
![{\displaystyle y_{n-1,x}-y_{n-2,x-1}+{\frac {1}{2^{n}}}y_{n-1,x-n}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597a80e2cdcd9f13f7098f8c4d0ac229b8b31fd0)
ainsi l’équation (1) subsiste dans le cas de ![{\displaystyle r=n-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8eea994022b593d867e46f5bb67049e7bd15ac)
Le raisonnement précédent conduit encore à cette équation
![{\displaystyle y_{n,x}={\frac {1}{2}}y_{n-1,x-1}+{\frac {1}{2^{2}}}y_{n-2,x-2}+\ldots +{\frac {1}{2^{n-1}}}y_{1,x-n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ffda77ae27acc8e2f03c8fa553c1b1cbe74863)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}y_{n,x-1}={\frac {1}{2^{2}}}y_{n-1,x-2}+\ldots +{\frac {1}{2^{n}}}y_{1,x-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f7dde92b9ce2904172bbce8293ba5f1fbe756c)
En retranchant cette équation de celle-ci, que donne l’expression générale de ![{\displaystyle y_{r,x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d299e2b4b0dfd5f6916733bf3f2e59f69e7ac12)
![{\displaystyle y_{1,x}={\frac {1}{2}}y_{0,x-1}+{\frac {1}{2^{2}}}y_{n-1,x-2}+\ldots +{\frac {1}{2^{n-1}}}y_{2,x-n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd6320e9af3f48b82e85874ec8995393ffdeade)
et faisant
on aura
![{\displaystyle y_{1,x}-{\overline {y}}_{0,x-1}+{\frac {1}{2^{n}}}y_{1,x-n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b41f674fbe3385f1915620c59f4ca52a2149807)
L’équation (1) subsiste donc encore dans le cas même de
pourvu que l’on y change
dans
On doit observer que
est la probabilité de gagner la partie au coup
de chacun des deux premiers