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Ainsi la probabilité que $\mathrm {A}$ gagnera la partie dans le nombre $b+2i$ de coups est

$1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left[\int dtc^{-t^{2}}-{\frac {\mathrm {T} c^{-\mathrm {T} ^{2}}}{8a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}\mathrm {T} ^{2}\right)\right],$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t=\mathrm {T,\ T^{2}}$ étant égal à ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}.$

Si l’on cherche le nombre des coups dans lesquels on peut parier un contre un que cela aura lieu, on fera cette probabilité égale à ${\frac {1}{2}},$ ce qui donne

$\int dtc^{-t^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}+{\frac {\mathrm {T} c^{-\mathrm {T} ^{2}}}{8a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}\mathrm {T} ^{2}\right).$

Nommons $\mathrm {T} '$ la valeur de $t,$ qui correspond à

$\int dtc^{-t^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{4}},$

et supposons

$\mathrm {T=T'} +q,$

$q$ étant de l’ordre ${\frac {1}{a^{2}}}.$ L’intégrale $\int dtc^{-t^{2}}$ sera augmentée à très peu près de $qc^{-\mathrm {T} ^{2}},$ ce qui donne

$qc^{-\mathrm {T} ^{2}}={\frac {\mathrm {T} 'c^{-\mathrm {T} '^{2}}}{8a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}\mathrm {T} '^{2}\right)\,;$

on aura donc

$\mathrm {T^{2}=T'^{2}} +{\frac {\mathrm {T} '^{2}}{4a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}\mathrm {T} '^{2}\right).$

Ayant ainsi $\mathrm {T} ^{2}$ aux quantités près de l’ordre ${\frac {1}{4}},$ l’équation

$2a^{2}=b+2i+{\frac {2}{3}}={\frac {b^{2}}{2\mathrm {T} ^{2}}}$

donnera, aux quantités près de l’ordre ${\frac {1}{a^{2}}},$

$b+2i={\frac {b^{2}}{2\mathrm {T} '^{2}}}-{\frac {7}{6}}+{\frac {1}{3}}\mathrm {T} '^{2}.$

Pour déterminer la valeur de $\mathrm {T} 'a^{2},$ nous observerons qu’ici $\mathrm {T} '$ est plus