trièmes puissances qui ne sont pas multipliées par
![{\displaystyle \log {\frac {(\cos \varphi )^{b+2i+1}}{\sin \varphi }}=-\log \varphi -{\frac {b+2i+{\frac {2}{3}}}{2}}\varphi ^{2}-{\frac {b+2i+{\frac {2}{3}}}{12}}\varphi ^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf63eb46beb260e6646163b927a794e954b6e60)
En faisant donc
![{\displaystyle a^{2}={\frac {b+2i+{\frac {2}{3}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4d8377f59c2b6c367866cbb907fd978ee42608)
on aura
![{\displaystyle {\frac {(\cos \varphi )^{b+2i+1}}{\sin \varphi }}={\frac {1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}}{\varphi }}c^{-a^{2}\varphi ^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1fb433e57cc2426d90c1680b6cab6c7c86e1db0)
partant,
![{\displaystyle \int {\frac {d\varphi \sin b\varphi (\cos \varphi )^{b+2i+1}}{\sin \varphi }}=\int {\frac {d\varphi \left(1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)}{\varphi }}\sin b\varphi c^{-a^{2}\varphi ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690d312e632a7e4cf67bea25ec75f0771addbd6e)
Cette dernière intégrale peut être prise depuis
jusqu’à
infini ; car elle doit être prise depuis
jusqu’à
or,
étant un nombre considérable,
devient excessivement petit, lorsqu’on y fait
en sorte qu’on peut le supposer nul, vu l’extrême rapidité avec laquelle cette exponentielle diminue, lorsque
augmente. Maintenant on a
![{\displaystyle {\frac {d}{db}}\int {\frac {d\varphi \left(1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)}{\varphi }}\sin b\varphi c^{-a^{2}\varphi ^{2}}=\int d\varphi \left(1-{\cfrac {a^{2}}{6}}\varphi ^{4}\right)\cos b\varphi c^{-a^{2}\varphi ^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c7b48c0aacd79ae862bf1540bee4f8200072f6)
on a d’ailleurs, par le no 25 du Livre Ier,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int d\varphi \cos b\varphi c^{-a^{2}\varphi ^{2}}=&{\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}c^{-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}\\\\\int \varphi ^{4}d\varphi \cos b\varphi c^{-a^{2}\varphi ^{2}}=&{\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}{\frac {d^{4}c^{-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}}{db^{4}}}\\\\=&{\frac {3{\sqrt {\pi }}}{8a^{5}}}c^{-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}\left(1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {b^{4}}{12.a^{4}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e32a4fe0d5882a8b326827e50dd938a87691fa)
d’où l’on tire, en supposant ![{\displaystyle {\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9be240c63610a301fb63861ea8ea2a923c4705d)
![{\displaystyle \int {\frac {d\varphi \sin b\varphi (\cos \varphi )^{b+2i+1}}{\sin \varphi }}={\sqrt {\pi }}\left[\int dtc^{-t^{2}}-{\frac {tc^{-t^{2}}}{8a^{2}}}\left(1-{\frac {2}{3}}t^{2}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999a92bab2bcc4acb0209a569c9b2797dc041dd6)