Supposons
deviendra
Ce sinus est nul, lorsque
est pair ; il suffit donc alors de considérer, dans l’expression de
les valeurs impaires de
En les exprimant par
et observant que
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{a,a+2i}&={\frac {p^{a}}{p^{a}+q^{a}}}\\&-{\frac {2^{a+2i+1}p^{a}(pq)^{i+1}}{a}}\mathrm {S} {\frac {(-1)^{s}\sin {\cfrac {(2s+1)\pi }{a}}\left[\cos {\cfrac {(2s+1)\pi }{2a}}\right]^{a+2i}}{p^{2}-2pq\cos {\frac {(2s+1)\pi }{a}}+q^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8222101175b8eb483d593febf480763557eee035)
devant comprendre toutes les valeurs impaires contenues dans ![{\displaystyle a-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f3d837f244badc3b56a97c1ed3e059102e0243)
Si l’on change, dans cette expression,
en
et réciproquement, on aura la probabilité du joueur
pour gagner la partie en
coups. La somme de ces deux probabilités sera la probabilité que la partie sera finie après ce nombre de coups ; cette dernière probabilité est donc
![{\displaystyle 1-{\frac {2^{a+2i+1}}{a}}\left(p^{a}+q^{a}\right)(pq)^{i+1}\mathrm {S} {\frac {(-1)^{s}\sin {\cfrac {(2s+1)\pi }{a}}\left[\cos {\cfrac {(2s+1)\pi }{2a}}\right]^{a+2i}}{p^{2}-2pq\cos {\frac {(2s+1)\pi }{a}}+q^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6168413938e4a93cea89f97cfc8094b00487a5)
Si les adresses
et
sont égales, cette expression devient
![{\displaystyle 1-{\frac {2}{a}}\mathrm {S} {\frac {(-1)^{s}\left[\cos {\cfrac {(2s+1)\pi }{2a}}\right]^{a+2i+1}}{\sin {\cfrac {(2s+1)\pi }{a}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa42a7e210e2911c2c90627e28edb3f08df3ac5)
Lorsque
est un grand nombre, on peut en conclure d’une manière fort approchée le nombre de coups nécessaire pour que la probabilité que la partie finira dans ce nombre de coups soit égale à une fraction donnée
On aura alors
![{\displaystyle {\frac {2}{a}}\mathrm {S} {\frac {(-1)^{s}\left[\cos {\cfrac {(2s+1)\pi }{2a}}\right]^{a+2i+1}}{\sin {\cfrac {(2s+1)\pi }{a}}}}={\frac {k-1}{k}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c04e8d09d7efa31db5df0585390ca9c2e5b6bf)