a donc
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} '}{2^{a+b}p^{a+b}}}{\frac {\left({\frac {1}{t'}}+{\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}-\left({\frac {1}{t'}}-{\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}}{\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}={\frac {1}{1-t'^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2394ccf2f133e3d3025b8f4728523098476219af)
ce qui donne la valeur de
En la multipliant par la fonction
divisée par
et dans laquelle on fait
on aura la fonction génératrice de
égale à
![{\displaystyle (o)\qquad {\frac {2^{b}p^{b}t'^{b}\left[\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}-\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}\right]}{\left(1-t'^{2}\right)\left[\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a+b}-\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a+b}\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd15aeba176fd6931eea3313c920305f8bd4d9e)
Dans le cas de
elle devient
![{\displaystyle {\frac {2^{a}p^{a}t'^{a}}{\left(1-t'^{2}\right)\left[\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}+\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}\right]}}..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9476b561fdc5521f9c607dd04ab8d0359eb41b)
En développant la fonction
![{\displaystyle (q)\qquad \qquad \qquad \left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}+\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cc43dcd66ab49885fd95ebc510079adf7ced89b)
suivant les puissances de
le radical disparaît, et le plus haut exposant de
dans ce développement est égal ou plus petit que
Mais, si l’on développe
suivant les puissances de
le plus petit exposant de
sera
la fonction
est donc égale au développement de
en rejetant les puissances de
supérieures à
.
Maintenant on a, par le no 3 du Livre Ier,
![{\displaystyle z^{a}=1-a\alpha +{\frac {a(a-3)}{1.2}}\alpha ^{2}-{\frac {a(a-4)(a-5)}{1.2.3}}\alpha ^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404f9079a745fe3c7c261a51dadc395fea71b18b)
étant celle des racines de l’équation
![{\displaystyle z=1-{\frac {\alpha }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7921e8ad1d78d8d0a324beb1897ca5a44eb4e24)