et il résulte de ce que nous venons de dire que le coefficient de 
dans le développement de cette dernière quantité est égal à
en rejetant du développement de cette série toutes les puissances de 
supérieures à 
et supposant dans ce que l’on conserve 
ce sera l’expression de 
Il est facile de traduire ce procédé en formule. Ainsi, en supposant 
pair et égal à 
on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{3^{x}}}\left[1+x{\tfrac {2}{3}}+{\frac {x(x+1)}{1.2}}\left({\tfrac {2}{3}}\right)^{2}+\ldots +{\frac {x(x+1)\ldots (x+r-1)}{1.2.3\ldots r}}\left({\tfrac {2}{3}}\right)^{r}\right]\\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+r)}{1.2.3\ldots (r+1)3^{x+r+1}}}\left[1+(r+1)+{\frac {(r+1)r}{1.2}}+\ldots +{\frac {(r+1)r\ldots 2}{1.2.3\ldots r}}\right]\\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+r+1)}{1.2.3\ldots (r+2)3^{x+r+2}}}\left[1+(r+2)+{\frac {(r+2)(r+1)\ldots 4}{1.2.3\ldots (r-1)}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+2r)}{1.2.3\ldots (2r+1)3^{x+2r+1}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec6fa69d17cfec6e59edb2dacb895c85c7bdc52)
Si l’on suppose impair et égal à 
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{3^{x}}}\left[1+x{\tfrac {2}{3}}+{\frac {x(x+1)}{1.2}}\left({\tfrac {2}{3}}\right)^{2}+\ldots +{\frac {x(x+1)\ldots (x+r-1)}{1.2.3\ldots r}}\left({\tfrac {2}{3}}\right)^{r}\right]\\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+r)}{1.2.3\ldots (r+1)3^{x+r+1}}}\left[1+(r+1)+{\frac {(r+1)r}{1.2}}+\ldots +{\frac {(r+1)r\ldots 3}{1.2.3\ldots (r-1)}}\right]\\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+r+1)}{1.2.3\ldots (r+2)3^{x+r+2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \times \left[1+(r+2)+{\frac {(r+2)(r+1)}{1.2}}+\ldots +{\frac {(r+2)(r+1)\ldots 5}{1.2.3\ldots (r-2)}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+2r-1)}{1.2.3\ldots 2r3^{x+2r}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc9bca466c01e02909207d9f020a88de082f1ae)
Ainsi, dans le cas de 
et 
on a
