probabilité du joueur
pour gagner la partie. Au coup suivant, cette probabilité se change dans
si
gagne ce coup, et la probabilité pour cela est
La même probabilité se change dans
si le coup est gagné par le joueur
, et la probabilité pour cela est
elle se change dans
si le coup est gagné par le joueur
, et la probabilité pour cela est
et ainsi de suite ; on a donc l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle y_{x,x',x'',\ldots }=p'y_{x-1,x',x'',\ldots }+q'y_{x,x'-1,x'',\ldots }+r'y_{x,x',x''-1,\ldots }+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce37688598fae1bf2e56c549481fd281fa9e98f0)
Soit
une fonction de
telle que
soit le coefficient de
dans son développement ; l’équation précédente aux différences partielles donnera, en passant des coefficients aux fonctions génératrices,
![{\displaystyle u=u(p't+q't'+r't''+\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e9948959406b01e7f40005a69596058d59a5bc)
d’où l’on tire
![{\displaystyle 1=p't+q't'+r't''+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144d4772096de53fe1bed6a3a2144188576541d5)
par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {1}{t}}={\frac {p'}{1-q't'-r't''-\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70354ceb6c9a24933a95d5274f1feb9799ea6614)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {u}{t^{x}}}={\frac {up'x}{(1-q't'-r't''-\ldots )x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3caff84d9d8f285c7411ba085e770fb6adc6d2cf)
![{\displaystyle =up'x\left\{{\begin{aligned}1&+x(q't'+r't''+\ldots )\\&+{\frac {x(x+1)}{1.2}}(q't'+r't''+\ldots )^{2}\\&+{\frac {x(x+1)(x+2)}{1.2.3}}(q't'+r't''+\ldots )^{3}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c403792830be2f23893733ce8ce6b9649e396d)
Maintenant le coefficient de
dans
est
et le même coefficient dans un terme quelconque du dernier membre de l’équation précédente, tel que
est
la quantité
est égale à l’unité, puisqu’alors il ne manque aucun coup au joueur
De plus, il faut rejeter toutes les valeurs de
dans lesquelles
est égal ou plus grand que
est égal ou plus grand que
et ainsi de suite, parce que ces termes ne peuvent être donnés par l’équation aux différences partielles, la partie étant