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LIVRE PREMIER.

la différence $n$^ième d’une puissance quelconque d’une fonction rationnelle de $s.$ Il suffit pour cela de réduire, par la méthode du n^o 29, cette fonction à la forme $\int x^{s}\varphi dx.$ Mais on a vu qu’alors on parvient, pour déterminer $\varphi$, à une équation différentielle d’un degré égal au plus haut exposant de $s$ dans cette fonction, et qui le plus souvent n’est pas intégrale. On peut obvier à cet inconvénient au moyen de multiples intégrales, de la manière suivante.

Considérons généralement la fonction

${\frac {1}{(s+p)^{i}(s+p')^{i'}(s+p'')^{i''}\ldots }}.$

Si dans l’intégrale $\int x^{i-1}dxc^{-(s+p)x}$ prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini, on change $(s+p)x$ en $x',$ elle devient ${\frac {1}{(s+p)^{i}}}\int x'^{i-1}dx'c^{-x'},$ la nouvelle intégrale étant prise dans les limites précédentes. La comparaison des deux intégrales donnera

${\frac {1}{(s+p)^{i}}}={\frac {\int x^{i-1}dxc^{-(s+p)x}}{\int x^{i-1}dxc^{-x}}}.$

Il suit de là que

${\frac {1}{(s+p)^{i}(s+p')^{i'}(s+p'')^{i''}\ldots }}$

$={\frac {\int x^{i-1}x'^{i'-1}x''^{i''-1}\ldots dxdx'dx''\ldots c^{-px-p'x'-p''x''-\ldots -s(x+x'+x''+\ldots )}}{\int x^{i-1}dxc^{-x}\int x'^{i'-1}dx'c^{-x'}\int x''^{i''-1}dx''c^{-x''}}}$

toutes les intégrales étant prises depuis $x,x',x'',\ldots$ nuls jusqu’à leurs valeurs infinies ; on aura donc

$\Delta ^{n}{\frac {1}{(s+p)^{i}(s+p')^{i'}\ldots }}$

$={\frac {\int x^{i-1}x^{'i'-1}\ldots dxdx'\ldots c^{-px-p'x'-\ldots -s(x+x'+\ldots )}\left(c^{-x-x'-\ldots }-1\right)^{n}}{\int x^{i-1}dxc^{-x}\int x^{'i'-1}dx'c^{-x'}c^{-x'}\ldots }}.$

On réduira facilement en séries convergentes, par la méthode du n^o 40, le numérateur et le dénominateur de cette expression, et si l’on change dans ces séries les signes de $i,i',\ldots ,$ on aura la valeur très