on aura donc, par le retour des suites,
![{\displaystyle \theta ={\frac {t}{\sqrt {h}}}\left(1-{\frac {h't}{2h{\sqrt {h}}}}+{\frac {5h'^{2}-4hh''}{8h^{3}}}t^{2}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85d2f4cb909430a949ca2bfe8722ec173647475)
et cette suite sera d’autant plus convergente que le nombre
sera plus considérable. En substituant cette valeur de
dans la fonction
et prenant l’intégrale dans les limites
et
limites qui correspondent aux limites
et
on aura
![{\displaystyle \int x^{i-1}dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0623048f126f57f68d3318147b3b60efa9fdd54b)
![{\displaystyle =a^{i-1}c^{-sa}\left(c^{-a}-1\right)^{n}{\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {h}}}\left(1+{\frac {15h'^{2}-12hh''}{16h^{3}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86f2c3f13ad704eb1954f52f5abf801beab42c1)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle \int x^{i-1}dxc^{-x}={\frac {1}{i}}\int x^{i}dxc^{-x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55645dd04d9ab1d5f2a7d88b8a7a12b4275dd88e)
et lorsque
est très grand, on a, par le no 32,
![{\displaystyle \int x^{i}dxc^{-x}=i^{i+{\frac {1}{2}}}c^{-i}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12i}}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929799c2cbca8df20981e74f4ea1b93d562dc340)
en divisant donc l’une par l’autre les deux valeurs de
![{\displaystyle \int x^{i-1}dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98bfa937b90b98eb1a8db49dc9d1e9a8dba0be93)
et
![{\displaystyle \quad \int x^{i-1}dxc^{-x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3e32cf538ece264e56ce661f3a4f5949c68411)
on aura
![{\displaystyle \Delta ^{n}{\frac {1}{^{i}}}={\frac {\left({\cfrac {a}{i}}\right)^{i-1}c^{i-sa}\left(c^{-a}-1\right)^{n}}{\sqrt {2hi}}}\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {15h'^{2}-12hh''}{16h^{3}}}\\&-{\frac {1}{12i}}-\ldots \end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd78d93f00618732b778933c7f11a92b0930acad)
Pour avoir la différence
ième de la puissance positive
il suffit, par le no 30, de changer dans cette équation
dans
et l’on aura
![{\displaystyle (\mu ')\left\{{\begin{aligned}\Delta ^{n}s^{i}&=(s+n)^{i}-n(s+n-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s+n-2)^{i}-\ldots \\=&{\frac {\left({\cfrac {i}{a}}\right)^{i+1}c^{sa-i}\left(c^{a}-1\right)^{n}}{\sqrt {{\cfrac {i(i+1)}{a^{2}}}-ni{\cfrac {c^{a}}{\left(c^{a}-1\right)^{2}}}}}}\left(1+{\frac {15l'^{2}-12ll''}{16l^{3}}}+{\frac {1}{12i}}+\ldots \right).\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b40ea56a680750e4db518247606e979c96948ec)