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Pour avoir les intégrales $n$ ^ième soit finies, soit infiniment petites, il suffira de faire $n$ négatif dans ces expressions. On peut observer qu’elles sont généralement vraies, quel que soit $n,$ en le supposant même fractionnaire, ce qui donne le moyen d’avoir les différences et les intégrales correspondantes à des indices fractionnaires. Toute la difficulté se réduit à mettre sous la forme d’intégrales définies une fonction de $s,$ ce que l’on peut faite par les n^o 29 et 30, lorsque cette fonction est donnée par une équation linéaire aux différences infiniment petites ou finies. Comme on est principalement conduit dans l’analyse des hasards à des expressions qui ne sont que les différences finies des fonctions, ou une partie de ces différences, nous allons y appliquer les méthodes précédentes et déterminer leurs valeurs en séries convergentes.

40. Considérons d’abord la fonction ${\frac {1}{s^{i}}}.$ En la désignant par $y_{s},$ elle sera déterminée par l’équation aux différences infiniment petites

$0=s{\frac {dy_{s}}{ds}}+iy_{s}.$

Si l’on suppose, dans cette équation,

$y_{s}=\int c^{-sx}\varphi dx,\qquad c^{-sx}=\delta y,$

elle deviendra

$0=\int \varphi dx\left(i\delta y+x{\frac {d\delta y}{dx}}\right),$

d’où l’on tire, en intégrant par parties, conformément à la méthode du n^o 29, les deux équations

${\begin{aligned}0=&i\varphi -{\frac {d(x\varphi )}{dx}},\\0=&x\varphi \delta y.\end{aligned}}$

La première donne, en l’intégrant,

$\varphi =\mathrm {A} x^{i-1},$

$A$ étant une arbitraire. La seconde équation donne pour les limites de