étant, comme ci-dessus, égal à
Si l’on compare cette expression de
à la précédente, et si l’on observe que
est un nombre entier et qu’ainsi l’on a
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{(\mu +1)(\mu +2)\ldots (s-1)}}={\frac {\mu {\sqrt {2\pi }}c^{s-\mu }\left(1-{\cfrac {1}{12s}}+{\cfrac {1}{288s^{2}}}-\ldots \right)}{s^{s-{\frac {1}{2}}}\int \mathrm {Q} d\varpi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b497487380348e7b0089a3638638345028dcab)
En divisant les deux membres de cette équation par
et les renversant ensuite, on aura
![{\displaystyle (\mu +1)(\mu +2)(\mu +3)\ldots s={\frac {s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{\mu -s}}{\mu {\sqrt {2\pi }}}}\left(1+{\cfrac {1}{12s}}+\ldots \right)\int \mathrm {Q} d\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038b00210ac3ea33a87fd0ae1f44651b9b69c6a2)
Si l’on compare cette équation à la formule
du numéro précédent, on a ce résultat remarquable
(O)
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Je suis parvenu à cette équation générale dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782, par l’analyse précédente, fondée, comme on voit, sur le passage du réel à l’imaginaire. En faisant successivement, dans
on aura les valeurs d’un nombre infini d’intégrales définies ; ainsi, dans le cas de
l’équation (O) donne
![{\displaystyle \int {\frac {d\varpi (\cos \varpi +\varpi \sin \varpi )}{1+\varpi ^{2}}}={\frac {\pi }{c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff4a6b74b39d320e34557f009fe12f87371784e)
formule que j’ai donnée pareillement dans les Mémoires cités. Cette formule et toutes celles du même genre peuvent se vérifier par les formules du no 26 ; car on a, par ce numéro,
![{\displaystyle \int {\frac {d\varpi \cos \varpi }{1+\varpi ^{2}}}={\frac {\pi }{2c}}=\int {\frac {\varpi d\varpi \sin \varpi }{1+\varpi ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051a6823a91637cbe85b8fb6d3b5d7ad03585c57)
Nous observerons ici, comme dans les Mémoires cités, que
étant égal à
on a, en substituant au lieu de
sa va-