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LIVRE PREMIER.

En multipliant ces deux équations l’une par l’autre, on aura

$\left(1-\mu ^{2}\right)\left(4-\mu ^{2}\right)\ldots \left(s'^{2}-\mu ^{2}\right)={\frac {s'^{2s'+1}c^{-2s'}.2\pi \left(1+{\cfrac {1+6\mu ^{2}}{6s'}}+\ldots \right)}{\int t^{-\mu }dtc^{-t}\int t^{\mu }dtc^{-t}}}.$

L’équation (T) du n^o 24 donne

$n^{3}\int t^{n+r-2}dtc^{-t^{n}}\int t^{n-r}dtc^{-t^{n}}={\frac {(r-1)\pi }{\sin {\cfrac {r-1}{n}}\pi }}.$

En faisant $n=1$ et $\mu =r-1,$ on a

$\int t^{\mu }dtc^{-t}\int t^{-\mu }dtc^{-t}={\frac {\mu \pi }{\sin \mu \pi }}\,;$

on a donc

$\sin \mu \pi ={\frac {1}{2}}\mu (1-\mu ^{2})(4-\mu ^{2})\ldots$

$(s'^{2}-\mu ^{2})\left(1-{\frac {1+6\mu ^{2}}{6s'}}+\ldots \right)s'^{-2s'-1}c^{2s'}.$

Si l’on fait $\mu$ infiniment petit, cette équation donne

$2\pi =1^{2}.2^{2}.3^{2}\ldots s'^{2}\left(1-{\frac {1}{6s'}}+\ldots \right)s'^{-2s'-1}c^{2s'}\,;$

divisant donc l’équation précédente par celle-ci, on aura

$\sin \mu \pi =\mu \pi \left(1-\mu ^{2}\right)\left(1-{\frac {\mu ^{2}}{4}}\right)\left(1-{\frac {\mu ^{2}}{9}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\mu ^{2}}{s'^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\mu ^{2}}{s'}}+\ldots \right).$

Si l’on fait $s'$ infini, on a pour l’expression de $\sin \varphi ,\ \varphi$ étant égal à $\mu \pi ,$ le produit infini

$\varphi \left(1-{\frac {\varphi ^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\varphi ^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\varphi ^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\varphi ^{2}}{4^{2}\pi ^{2}}}\right)\ldots \,;$

l’expression de $\sin \varphi$ est ainsi décomposable dans une infinité de facteurs, ce que l’on sait d’ailleurs.

En supposant $\varphi$ imaginaire et égal à $\varphi '{\sqrt {-1}},\ \sin \varphi$ devient ${\frac {c^{-\varphi '}-c^{\varphi '}}{2{\sqrt {-1}}}}\,;$ on a donc

$c^{\varphi '}-c^{-\varphi '}=2\varphi '\left(1+{\frac {\varphi ^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\varphi '^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\varphi '^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)\ldots$

$\left(1+{\frac {\varphi '^{2}}{s'^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\varphi '^{2}}{s'\pi ^{2}}}+\ldots \right).$